Projete um observador para o sistema, considerando que a resposta para o erro do observador seja do tipo deadbeat. Utilize os três métodos para obter
.
Solução:
Solução:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício de controle de sistemas, especificamente sobre projetar um observador para um sistema dado. O sistema está descrito em forma de espaço de estados, e queremos que o observador tenha uma resposta deadbeat, ou seja, que o erro de estimativa zere em um número mínimo de passos. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre estado de sistemas, observadores e design de polos. Vamos por etapas!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um observador. Em sistemas de controle, um observador estima os estados internos do sistema baseado nas saídas medidas e nas entradas aplicadas. A forma geral do observador discreto é:
onde:
-
é a estimativa dos estados. -
é a matriz do observador que precisamos determinar. -
é a saída estimada.
Nosso objetivo é escolher
de forma que o erro
diminua rapidamente, idealmente dentro de alguns passos (deadbeat).
Passo 3
Agora, vamos ao primeiro método para encontrar
: Colocação de Polos.
Passo 3.1: Definir a Matriz de Estado do Observador
A dinâmica do erro
é dada por:
Queremos que os polos dessa matriz
sejam colocados em locais que agilizem a convergência do erro para zero. Para um observador deadbeat em sistemas discretos de segunda ordem, podemos escolher os polos em
e
(ou outros valores próximos de zero).
Passo 3.2: Encontrar o Polinômio Característico Desejado
O polinômio característico desejado com polos em
é:
Passo 3.3: Calcular o Polinômio Característico do Observador
O polinômio característico de
é:
Com
e
dadas no enunciado:
Passo 3.4: Igualar os Coeficientes
Igualando os polinômios, obtemos um sistema de equações para
.
Após resolver essas equações, encontramos:
Passo 4
Vamos agora aplicar o segundo método: Fórmula de Ackermann.
Passo 4.1: Verificar a Observabilidade
Antes de mais nada, precisamos verificar se o sistema é observável. A matriz de observabilidade é:
Calculando o determinante:
Como o determinante é diferente de zero, o sistema é observável.
Passo 4.2: Aplicar a Fórmula de Ackermann
A fórmula de Ackermann para projetar observadores é similar à usada para controladores. Ela nos permite calcular
diretamente a partir do polinômio característico desejado.
Para sistemas de segunda ordem, a fórmula simplifica para:
Usando as relações obtidas no método anterior, confirmamos que:
Passo 5
Por fim, vamos utilizar o terceiro método: Dualidade entre Observadores e Controladores.
Passo 5.1: Entender a Dualidade
A dualidade estabelece que as técnicas usadas para projetar controladores podem ser aplicadas de forma semelhante para projetar observadores, trocando-se os papéis de
e
,
e
, etc.
Passo 5.2: Projetar um Controlador Dual
Aplicando a dualidade, projetamos um controlador para o sistema dual e então obtemos
.
Após aplicar esse método, chegamos novamente à matriz:
Resposta
A matriz do observador projetado com resposta deadbeat é: