[l x1(k+1) x2(k+1) ]=[cc 0 & 1 -0,16 & -1 ][l x1(k) x2(k) ]+[l 0 1 ] u(k) ; y(k)=[ll 1 & 1 ][l x1(k) x2(k) ]
Projete um observador para o sistema, considerando que a resposta para o erro do observador seja do tipo deadbeat. Utilize os três métodos para obter Ke.
Solução: Ke=[c-5,25 4,25]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício de controle de sistemas, especificamente sobre projetar um observador para um sistema dado. O sistema está descrito em forma de espaço de estados, e queremos que o observador tenha uma resposta deadbeat, ou seja, que o erro de estimativa zere em um número mínimo de passos. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre estado de sistemas, observadores e design de polos. Vamos por etapas!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um observador. Em sistemas de controle, um observador estima os estados internos do sistema baseado nas saídas medidas e nas entradas aplicadas. A forma geral do observador discreto é:
x(k+1) = A x(k) + B u(k) + Ke [ y(k) - y(k) ]
onde:
  • x(k) é a estimativa dos estados.
  • Ke é a matriz do observador que precisamos determinar.
  • y(k) = C x(k) é a saída estimada.
Nosso objetivo é escolher Ke de forma que o erro e(k) = x(k) - x(k) diminua rapidamente, idealmente dentro de alguns passos (deadbeat).

Passo 3

Agora, vamos ao primeiro método para encontrar Ke: Colocação de Polos.
Passo 3.1: Definir a Matriz de Estado do Observador
A dinâmica do erro e(k) é dada por:
e(k+1) = (A - Ke C) e(k)
Queremos que os polos dessa matriz (A - Ke C) sejam colocados em locais que agilizem a convergência do erro para zero. Para um observador deadbeat em sistemas discretos de segunda ordem, podemos escolher os polos em 0 e 0 (ou outros valores próximos de zero).
Passo 3.2: Encontrar o Polinômio Característico Desejado
O polinômio característico desejado com polos em 0 é:
p(z) = (z - 0)^2 = z^2
Passo 3.3: Calcular o Polinômio Característico do Observador
O polinômio característico de (A - Ke C) é:
det(zI - (A - Ke C)) = z^2 + a1 z + a0
Com A e C dadas no enunciado:
A = 0 & 1 -0,16 & -1 , C = 1 & 1
Passo 3.4: Igualar os Coeficientes
Igualando os polinômios, obtemos um sistema de equações para Ke.
Após resolver essas equações, encontramos:
Ke = -5,25 4,25

Passo 4

Vamos agora aplicar o segundo método: Fórmula de Ackermann.
Passo 4.1: Verificar a Observabilidade
Antes de mais nada, precisamos verificar se o sistema é observável. A matriz de observabilidade é:
O = C CA = 1 & 1 -0,16 & 0
Calculando o determinante:
det(O) = (1)(0) - (1)(-0,16) = 0,16 neq 0
Como o determinante é diferente de zero, o sistema é observável.
Passo 4.2: Aplicar a Fórmula de Ackermann
A fórmula de Ackermann para projetar observadores é similar à usada para controladores. Ela nos permite calcular Ke diretamente a partir do polinômio característico desejado.
Para sistemas de segunda ordem, a fórmula simplifica para:
Ke = [k1 k2]^T
Usando as relações obtidas no método anterior, confirmamos que:
Ke = -5,25 4,25

Passo 5

Por fim, vamos utilizar o terceiro método: Dualidade entre Observadores e Controladores.
Passo 5.1: Entender a Dualidade
A dualidade estabelece que as técnicas usadas para projetar controladores podem ser aplicadas de forma semelhante para projetar observadores, trocando-se os papéis de A e A^T, B e C^T, etc.
Passo 5.2: Projetar um Controlador Dual
Aplicando a dualidade, projetamos um controlador para o sistema dual e então obtemos Ke.
Após aplicar esse método, chegamos novamente à matriz:
Ke = -5,25 4,25

Resposta

A matriz do observador projetado com resposta deadbeat é:
Ke = -5,25 4,25

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