Verifique se é possível levar os estados do sistema acima para os seguintes valores, a partir das condições iniciais:
(a)
(b)
Solução:
(a) Sim.
(b) Não.
(a)
(b)
(b) Não.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema dinâmico descrito por equações de diferença e queremos saber se, partindo de um estado inicial, a gente consegue chegar a certos estados depois de duas etapas. Para isso, vamos usar conceitos de controle de sistemas lineares, especialmente a controlabilidade. Precisamos entender como manipular as equações para verificar se os estados desejados são alcançáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o sistema que temos. As equações são:
E o estado inicial é:
Queremos saber se conseguimos levar o sistema para:
(a)
(b)
Passo 3
Vamos calcular os estados após duas iterações (
para
). Para isso, precisamos considerar as entradas de controle
e
que vamos aplicar.
Primeiro, vamos calcular
usando
e
:
Onde:
Calculando
:
Fazendo as multiplicações:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular
usando
e
:
Substituindo
:
Fazendo as multiplicações:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos igualar
aos valores desejados e resolver para
e
.
Parte (a)
Queremos:
Isso nos dá o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema.
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Simplificando:
Os termos com
se cancelam:
A equação é verdadeira, o que significa que existe uma solução para
e
. Portanto, é possível atingir o estado desejado na parte (a).
Parte (b)
Queremos:
Isso nos dá o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema.
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Simplificando:
Os termos com
se cancelam:
Isso não faz sentido, pois
. Portanto, não existe solução para
e
que atenda ao estado desejado na parte (b).
Resposta
(a) Sim.
(b) Não.