[c x1(k+1) x2(k+1) ]=[cc 0 & 1 -0,16 & -1 ][l x1(k) x2(k) ]+[c 1 -0,8 ] u(k),[l x1(0) x2(0) ]=[c 1 -1 ]
Verifique se é possível levar os estados do sistema acima para os seguintes valores, a partir das condições iniciais:
(a) [lx1(2) x2(2)]=[c0 -0,008]
(b) [lx1(2) x2(2)]=[c-1 2]

Solução:

(a) Sim.
(b) Não.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema dinâmico descrito por equações de diferença e queremos saber se, partindo de um estado inicial, a gente consegue chegar a certos estados depois de duas etapas. Para isso, vamos usar conceitos de controle de sistemas lineares, especialmente a controlabilidade. Precisamos entender como manipular as equações para verificar se os estados desejados são alcançáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o sistema que temos. As equações são:
x1(k+1) = 0 cdot x1(k) + 1 cdot x2(k) + 1 cdot u(k) x2(k+1) = -0,16 cdot x1(k) -1 cdot x2(k) -0,8 cdot u(k)
E o estado inicial é:
[c x1(0) x2(0) ] = [c 1 -1 ]
Queremos saber se conseguimos levar o sistema para:
(a) [c0 -0,008]
(b) [c-1 2]

Passo 3

Vamos calcular os estados após duas iterações ( k=0 para k=2). Para isso, precisamos considerar as entradas de controle u(0) e u(1) que vamos aplicar.
Primeiro, vamos calcular x(1) usando x(0) e u(0):
x(1) = A cdot x(0) + B cdot u(0)
Onde:
A = [cc 0 & 1 -0,16 & -1 ], B = [c 1 -0,8 ]
Calculando x(1):
x(1) = [cc 0 & 1 -0,16 & -1 ] [c 1 -1 ] + [c 1 -0,8 ] u(0)
Fazendo as multiplicações:
x(1) = [c 0 cdot 1 + 1 cdot (-1) -0,16 cdot 1 + (-1) cdot (-1) ] + [c 1 -0,8 ] u(0) = [c -1 0,84 ] + [c 1 -0,8 ] u(0)
Então:
x(1) = [c -1 + u(0) 0,84 -0,8 cdot u(0) ]

Passo 4

Agora, vamos calcular x(2) usando x(1) e u(1):
x(2) = A cdot x(1) + B cdot u(1)
Substituindo x(1):
x(2) = [cc 0 & 1 -0,16 & -1 ] [c -1 + u(0) 0,84 -0,8 cdot u(0) ] + [c 1 -0,8 ] u(1)
Fazendo as multiplicações:
x(2) = [c 0 cdot (-1 + u(0)) + 1 cdot (0,84 -0,8 u(0)) -0,16 cdot (-1 + u(0)) + (-1) cdot (0,84 -0,8 u(0)) ] + [c 1 -0,8 ] u(1)
Simplificando:
x(2) = [c 0,84 -0,8 u(0) 0,16 -0,16 u(0) -0,84 +0,8 u(0) ] + [c u(1) -0,8 u(1) ]
x(2) = [c 0,84 -0,8 u(0) + u(1) -0,68 +0,64 u(0) -0,8 u(1) ]

Passo 5

Agora, vamos igualar x(2) aos valores desejados e resolver para u(0) e u(1).

Parte (a)

Queremos:
[c 0 -0,008 ] = [c 0,84 -0,8 u(0) + u(1) -0,68 +0,64 u(0) -0,8 u(1) ]
Isso nos dá o sistema de equações:
  1. 0 = 0,84 -0,8 u(0) + u(1)
  2. -0,008 = -0,68 +0,64 u(0) -0,8 u(1)
Vamos resolver esse sistema.
Da primeira equação:
u(1) = 0,8 u(0) -0,84
Substituindo na segunda equação:
-0,008 = -0,68 +0,64 u(0) -0,8 (0,8 u(0) -0,84)
Simplificando:
-0,008 = -0,68 +0,64 u(0) -0,64 u(0) +0,672
Os termos com u(0) se cancelam:
-0,008 = -0,68 +0,672
-0,008 = -0,008
A equação é verdadeira, o que significa que existe uma solução para u(0) e u(1). Portanto, é possível atingir o estado desejado na parte (a).

Parte (b)

Queremos:
[c -1 2 ] = [c 0,84 -0,8 u(0) + u(1) -0,68 +0,64 u(0) -0,8 u(1) ]
Isso nos dá o sistema de equações:
  1. -1 = 0,84 -0,8 u(0) + u(1)
  2. 2 = -0,68 +0,64 u(0) -0,8 u(1)
Vamos resolver esse sistema.
Da primeira equação:
u(1) = -1 -0,84 +0,8 u(0)
u(1) = -1,84 +0,8 u(0)
Substituindo na segunda equação:
2 = -0,68 +0,64 u(0) -0,8 (-1,84 +0,8 u(0))
Simplificando:
2 = -0,68 +0,64 u(0) +1,472 -0,64 u(0)
Os termos com u(0) se cancelam:
2 = -0,68 +1,472
2 = 0,792
Isso não faz sentido, pois 2 neq 0,792. Portanto, não existe solução para u(0) e u(1) que atenda ao estado desejado na parte (b).

Resposta

(a) Sim.
(b) Não.

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