A torcida do Fluminense tem taxa de natalidade é
, a de mortalidade é
e, anualmente,
torcedores desiste de vez. Se
, determine o número de torcedores daqui a
anos. A torcida está condenada à extinção?
Passo 1
Beleza, então o exercício diz o seguinte: a torcida do Fluminense começa com
torcedores, cresce a uma taxa de natalidade
, decai a uma taxa de mortalidade
e mais
torcedores desistem todo ano. A questão é: qual o tamanho da torcida daqui a
anos e ela vai acabar ou não?
Conteúdo envolvido: equação de diferença (recorrência) linear não homogênea. Vamos montar a fórmula de evolução ano a ano e depois resolver essa recorrência passo a passo.
Conteúdo envolvido: equação de diferença (recorrência) linear não homogênea. Vamos montar a fórmula de evolução ano a ano e depois resolver essa recorrência passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos criar a equação de recorrência.
Num ano genérico , você tem
torcedores. No ano seguinte (
):
Num ano genérico
- A torcida aumenta pela taxa líquida de
, ou seja multiplica por . - Em seguida,
torcedores saem.
Isso dá a equação:
Aqui definimos
para simplificar.
Passo 3
Agora vamos resolver a parte homogênea (ou seja, desprezando o “;-;R”):
Essa é fácil: a solução geral é
onde
é uma constante que a gente vai achar usando a condição inicial.
Passo 4
Precisamos de uma solução particular para a versão completa, com o “;-;R”. Buscamos uma constante
tal que, se
para todo
, caiba na equação:
Isolando
:
Passo 5
A solução geral da recorrência é a soma da homogênea com a particular:
Agora usamos
(número inicial de torcedores) para achar
:
Passo 6
Substituindo
e
, temos finalmente:
Passo 7
E a torcida está condenada à extinção? Como
, temos
. Então o termo
cresce exponencialmente.
- Se
, a constante e . - Se
, aí e fica sempre em (num patamar constante). - Se
, a fórmula matemática daria valores negativos (o que não faz sentido real: a torcida bateria em zero e acabaria).
Mas, no caso típico com
, a tendência natural é a torcida crescer sem extinção, desde que o abandono
não seja grande demais.
Resposta
e, como
, a torcida não está condenada à extinção (ela cresce, salvo num caso degrau muito forte de abandonos).