A torcida do Fluminense tem taxa de natalidade é i, a de mortalidade é j e, anualmente, R torcedores desiste de vez. Se i > j, determine o número de torcedores daqui a n anos. A torcida está condenada à extinção?

Passo 1

Beleza, então o exercício diz o seguinte: a torcida do Fluminense começa com P0 torcedores, cresce a uma taxa de natalidade i, decai a uma taxa de mortalidade j e mais R torcedores desistem todo ano. A questão é: qual o tamanho da torcida daqui a n anos e ela vai acabar ou não?
Conteúdo envolvido: equação de diferença (recorrência) linear não homogênea. Vamos montar a fórmula de evolução ano a ano e depois resolver essa recorrência passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos criar a equação de recorrência.
Num ano genérico n, você tem Pn torcedores. No ano seguinte ( n+1):
  1. A torcida aumenta pela taxa líquida de (i - j), ou seja multiplica por 1 + i - j.
  2. Em seguida, R torcedores saem.
    Isso dá a equação:
Pn+1 ;=; (1 + i - j),Pn ;-; R
Aqui definimos a = 1 + i - j para simplificar.

Passo 3

Agora vamos resolver a parte homogênea (ou seja, desprezando o “;-;R”):
Pn+1^h = a,Pn^h
Essa é fácil: a solução geral é
Pn^h = C,a^n,
onde C é uma constante que a gente vai achar usando a condição inicial.

Passo 4

Precisamos de uma solução particular para a versão completa, com o “;-;R”. Buscamos uma constante K tal que, se Pn^p = K para todo n, caiba na equação:
K = a,K - R
Isolando K:
K - a,K = -R Longrightarrow K(1 - a) = -R Longrightarrow K = Ra - 1 = R(1+i-j)-1 = R,i-j,

Passo 5

A solução geral da recorrência é a soma da homogênea com a particular:
Pn = C,a^n ;+; R,i-j,
Agora usamos P0 (número inicial de torcedores) para achar C:
P0 = C,a^0 + R,i-j, ;Longrightarrow; C = P0 - R,i-j,

Passo 6

Substituindo C e a=1+i-j, temos finalmente:
boxed Pn = l(P0 - R,i-j,r),(1 + i - j)^n ;+;R,i-j,

Passo 7

E a torcida está condenada à extinção? Como i>j, temos a=1+i-j>1. Então o termo (1+i-j)^n cresce exponencialmente.
  • Se P0 > tfracRi-j, a constante C>0 e Pnto +infty.
  • Se P0 = tfracRi-j, aí C=0 e Pn fica sempre em tfracRi-j (num patamar constante).
  • Se P0 < tfracRi-j, a fórmula matemática daria valores negativos (o que não faz sentido real: a torcida bateria em zero e acabaria).
Mas, no caso típico com i>j, a tendência natural é a torcida crescer sem extinção, desde que o abandono R não seja grande demais.

Resposta

Pn = l(P0 - R,i-j,r),(1 + i - j)^n ;+;R,i-j,,
e, como i>j, a torcida não está condenada à extinção (ela cresce, salvo num caso degrau muito forte de abandonos).

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