[l dotx1 dotx2 ] & =[cc 0 & 1 -25 & -6 ][l x1 x2 ]+[l 0 1 ] u y & =[ll 3 & 1 ] x
(a) Obtenha as matrizes G(T) e H(T) do sistema discretizado.
(b) A controlabilidade e a observabilidade do sistema discretizado são mantidas? Justifique sem a obtenção das matrizes de controlabilidade e observabilidade.

Solução:

(a) G(T)=[cce^-3 T(cos (4 T)+0,75 sen(4 T)) & 0,25 e^-3 T sen(4 T) -6,25 e^-3 T sen(4 T) & e^-3 T(cos (4 T)-0,75 sen(4 T))]
H(T)=[c 0,01 e^-3 T(-3 sen(4 T)-4 cos (4 T))+0,04 0,25 e^-3 T sen(4 T) ]
(b) A controlabilidade e a observabilidade do sistema discretizado são mantidas apenas para T neq n pi4, n in N

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é que a gente transforme um sistema contínuo em um sistema discretizado. Isso envolve encontrar as matrizes $ G(T) $ e $ H(T) $ que descrevem o sistema no tempo discreto a partir das matrizes dadas no tempo contínuo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformação de sistemas contínuos para discretos, usando a técnica de amostragem com intervalo $ T $.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as matrizes do sistema contínuo que a gente tem:
A = 0 & 1 -25 & -6 , B = 0 1 , C = 3 & 1
Para discretizar o sistema, precisamos calcular $ G(T) $ e $ H(T) $. Esses correspondem respectivamente à matriz de transição de estado e à matriz de entrada no sistema discretizado.

Passo 3

A fórmula geral para encontrar $ G(T) $ e $ H(T) $ é baseada na matriz exponencial. A matriz de transição de estado $ G(T) $ é dada por:
G(T)
E a matriz $ H(T) $ é calculada pela integral:
H(T)
Vamos calcular essas matrizes passo a passo.

Passo 4

Para calcular $ e^{A T} $, precisamos encontrar a exponencial da matriz $ A $. Isso pode ser feito diagonalizando $ A $ ou usando a fórmula de série de Taylor. No nosso caso, como a matriz $ A $ é 2x2, podemos usar a fórmula simplificada para exponenciais de matrizes 2x2.
Primeiro, calculamos os autovalores de $ A $:
e^A T
Simplificando:
A

Passo 5

Com os autovalores em mãos, a matriz exponencial $ e^{A T} $ pode ser expressa em termos de funções trigonométricas devido à presença das partes imaginárias nos autovalores. Usando a forma de Euler para matrizes, obtemos:
e^A T

Passo 6

Agora, vamos calcular $ H(T) $. Utilizando a integral da matriz exponencial multiplicada por $ B $:
H(T)
Após resolver a integral, obtemos:
B

Passo 7

Então, resumindo, as matrizes discretizadas são:
G(T) = e^-3 T (cos(4T) + 0.75 sin(4T)) & 0.25 e^-3 T sin(4T) -6.25 e^-3 T sin(4T) & e^-3 T (cos(4T) - 0.75 sin(4T))
H(T) = 0.01 e^-3 T (-3 sin(4T) - 4 cos(4T)) + 0.04 0.25 e^-3 T sin(4T)

Passo 8

Agora, para a parte (b), precisamos analisar se a controlabilidade e a observabilidade do sistema são mantidas após a discretização. Sem calcular as matrizes de controlabilidade e observabilidade, podemos usar o fato de que, em geral, a discretização preserva essas propriedades a menos que o intervalo de amostragem $ T $ resulte em regiões onde o sistema perde esses atributos.
Especificamente, para o nosso sistema, a controlabilidade e a observabilidade são mantidas para qualquer $ T $ que não seja múltiplo de $ \frac{\pi}{4} $, ou seja, $ T \neq \frac{n \pi}{4} $ onde $ n $ é um número natural.

Resposta

(a) As matrizes discretizadas são:
G(T) = e^-3 T (cos(4T) + 0.75 sin(4T)) & 0.25 e^-3 T sin(4T) -6.25 e^-3 T sin(4T) & e^-3 T (cos(4T) - 0.75 sin(4T))
H(T) = 0.01 e^-3 T (-3 sin(4T) - 4 cos(4T)) + 0.04 0.25 e^-3 T sin(4T)
(b) A controlabilidade e a observabilidade do sistema discretizado são mantidas para qualquer intervalo de amostragem $ T $ que não seja múltiplo de $ \frac{\pi}{4} $, ou seja, quando $ T \neq \frac{n \pi}{4} $ com $ n \in \mathbb{N} $.

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