(a) Obtenha as matrizes
e
do sistema discretizado.
(b) A controlabilidade e a observabilidade do sistema discretizado são mantidas? Justifique sem a obtenção das matrizes de controlabilidade e observabilidade.
Solução:
(a)
(b) A controlabilidade e a observabilidade do sistema discretizado são mantidas apenas para
(b) A controlabilidade e a observabilidade do sistema discretizado são mantidas? Justifique sem a obtenção das matrizes de controlabilidade e observabilidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é que a gente transforme um sistema contínuo em um sistema discretizado. Isso envolve encontrar as matrizes $ G(T) $ e $ H(T) $ que descrevem o sistema no tempo discreto a partir das matrizes dadas no tempo contínuo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformação de sistemas contínuos para discretos, usando a técnica de amostragem com intervalo $ T $.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as matrizes do sistema contínuo que a gente tem:
Para discretizar o sistema, precisamos calcular $ G(T) $ e $ H(T) $. Esses correspondem respectivamente à matriz de transição de estado e à matriz de entrada no sistema discretizado.
Passo 3
A fórmula geral para encontrar $ G(T) $ e $ H(T) $ é baseada na matriz exponencial. A matriz de transição de estado $ G(T) $ é dada por:
E a matriz $ H(T) $ é calculada pela integral:
Vamos calcular essas matrizes passo a passo.
Passo 4
Para calcular $ e^{A T} $, precisamos encontrar a exponencial da matriz $ A $. Isso pode ser feito diagonalizando $ A $ ou usando a fórmula de série de Taylor. No nosso caso, como a matriz $ A $ é 2x2, podemos usar a fórmula simplificada para exponenciais de matrizes 2x2.
Primeiro, calculamos os autovalores de $ A $:
Simplificando:
Passo 5
Com os autovalores em mãos, a matriz exponencial $ e^{A T} $ pode ser expressa em termos de funções trigonométricas devido à presença das partes imaginárias nos autovalores. Usando a forma de Euler para matrizes, obtemos:
Passo 6
Agora, vamos calcular $ H(T) $. Utilizando a integral da matriz exponencial multiplicada por $ B $:
Após resolver a integral, obtemos:
Passo 7
Então, resumindo, as matrizes discretizadas são:
Passo 8
Agora, para a parte (b), precisamos analisar se a controlabilidade e a observabilidade do sistema são mantidas após a discretização. Sem calcular as matrizes de controlabilidade e observabilidade, podemos usar o fato de que, em geral, a discretização preserva essas propriedades a menos que o intervalo de amostragem $ T $ resulte em regiões onde o sistema perde esses atributos.
Especificamente, para o nosso sistema, a controlabilidade e a observabilidade são mantidas para qualquer $ T $ que não seja múltiplo de $ \frac{\pi}{4} $, ou seja, $ T \neq \frac{n \pi}{4} $ onde $ n $ é um número natural.
Resposta
(a) As matrizes discretizadas são:
(b) A controlabilidade e a observabilidade do sistema discretizado são mantidas para qualquer intervalo de amostragem $ T $ que não seja múltiplo de $ \frac{\pi}{4} $, ou seja, quando $ T \neq \frac{n \pi}{4} $ com $ n \in \mathbb{N} $.