01(\mathbf{5 , 0}) - Determine \gamma, \alpha, \beta e \mathrm{Z}_{0} para a linha de transmissão caracterizada pelos parâmetros distribuídos abaixo 1 GHz :
\begin{aligned} R^{\prime} & =3,8 \frac{\Omega}{m} \\\ L^{\prime} & =237 \times 10^{-9} \mathrm{H} / \mathrm{m} \\\ G^{\prime} & =0 \\\ C^{\prime} & =106 \times 10^{-12} \mathrm{~F} / \mathrm{m} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede a constante de propagação
\gamma=\alpha+j\beta
e a impedância característica Z_{0} de uma linha de transmissão com parâmetros distribuídos a f=1;GHz:
R' = 3{,}8\;\Omega/\mathrm m,\quad L' = 237\times10^{-9}\;\mathrm H/\mathrm m,\quad G'=0,\quad C'=106\times10^{-12}\;\mathrm F/\mathrm m.
Para resolver, vamos:
  1. Calcular \omega=2\pi f.
  2. Determinar Z'=R'+j\omega L' e Y'=G'+j\omega C'.
  3. Calcular \gamma=\sqrt{Z'Y'} e extrair \alpha e \beta.
  4. Calcular Z_{0}=\sqrt{Z'/Y'}.

Passo 2

Calculando a pulsação:
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 1\times10^{9} \approx 6{,}2832\times10^{9}\;\mathrm{rad/s}.
Então
Z' = R' + j\omega L' = 3{,}8 + j\,(6{,}2832\times10^{9}\cdot237\times10^{-9}) = 3{,}8 + j\,1489\;\Omega/\mathrm m,
Y' = G' + j\omega C' = 0 + j\,(6{,}2832\times10^{9}\cdot106\times10^{-12}) = j\,0{,}666\;\mathrm S/\mathrm m.

Passo 3

A constante de propagação é
\gamma = \sqrt{Z'\,Y'} = \sqrt{(3{,}8 + j\,1489)\,(j\,0{,}666)}.
Calculando o produto interno:
(3{,}8 + j\,1489)\,(j\,0{,}666) = -991{,}0 + j\,2{,}533.
Seja z=-991{,}0+j\,2{,}533. Então
|z|=\sqrt{(-991{,}0)^{2}+(2{,}533)^{2}}\approx991{,}02,
\alpha = \Re(\gamma) = \sqrt{\frac{|z| + \Re(z)}{2}} = \sqrt{\frac{991{,}02 - 991{,}0}{2}} \approx0{,}10\;\mathrm{Np/m},
\beta = \Im(\gamma) = \operatorname{sign}(\Im(z))\,\sqrt{\frac{|z| - \Re(z)}{2}} = +\sqrt{\frac{991{,}02 + 991{,}0}{2}} \approx31{,}48\;\mathrm{rad/m}.
Logo
\gamma = 0{,}10 + j\,31{,}48\;\mathrm m^{-1}.

Passo 4

A impedância característica é
Z_{0} = \sqrt{\frac{Z'}{Y'}} = \sqrt{\frac{3{,}8 + j\,1489}{j\,0{,}666}}.
Fazendo a divisão:
\frac{3{,}8 + j\,1489}{j\,0{,}666} = 2236{,}5 - j\,5{,}71.
Seja w=2236{,}5 - j\,5{,}71. Então
|w|\approx2236{,}51,
\Re(Z_{0}) = \sqrt{\frac{|w| + \Re(w)}{2}} \approx \sqrt{\frac{2236{,}51 + 2236{,}5}{2}} \approx47{,}31\;\Omega,
\Im(Z_{0}) = \operatorname{sign}(\Im(w))\,\sqrt{\frac{|w| - \Re(w)}{2}} = -\sqrt{\frac{2236{,}51 - 2236{,}5}{2}} \approx -0{,}06\;\Omega.
Portanto
Z_{0}\approx47{,}31 - j\,0{,}06\;\Omega.

Resposta

\displaystyle \gamma = 0{,}10 + j\,31{,}48\;\mathrm m^{-1}
\displaystyle \alpha = 0{,}10\;\mathrm{Np/m}
\displaystyle \beta = 31{,}48\;\mathrm{rad/m}
\displaystyle Z_{0} = 47{,}31 - j\,0{,}06\;\Omega

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