\mathbf{0 2}(\mathbf{5 , 0}) - Um gerador com tensão (fasor) \mathrm{V}_{\mathrm{s}}=100 \mathrm{~V} e \mathrm{Zs}=50 \Omega e conectado a uma carga com impedância \mathrm{Z}_{\mathrm{L}}=75 \Omega a traves de uma linha de transmissão sem perdas com \mathrm{Z}_{0}=50 \Omega e comprimento \mathrm{l}=0.15 \lambda.
a) Calcular a impedância de entrada na linha.
b) Calcular \mathrm{I}_{\text {entrada }} \mathrm{e} \mathrm{V}_{\text {entrada }} (fasores).
c) Calcular a potência média no tempo entregue à linha, \mathrm{P}_{l}.
d) Calcular V_{L}, I_{L} e a potência média no tempo entregue à carga.

Passo 1

O enunciado dá um gerador com tensão (fasor) \mathrm{V}_{\mathrm{s}}=100\\ \text{V} e impedância interna \mathrm{Z}_{\mathrm{s}}=50\,\Omega, ligado a uma linha de transmissão sem perdas com impedância característica \mathrm{Z}_0=50\,\Omega e comprimento l=0,15\,\lambda. Na extremidade da linha está uma carga \mathrm{Z}_{\mathrm{L}}=75\,\Omega.
Conteúdo: usar a fórmula da impedância de entrada de linha sem perdas
Z_{\mathrm{in}} = Z_0\,\frac{Z_{\mathrm{L}} + j\,Z_0\tan(\beta l)}{\,Z_0 + j\,Z_{\mathrm{L}}\tan(\beta l)\,}
e depois achar correntes e tensões com divisor de tensão complexo ou parâmetros ABCD, calcular potência média com P=|I|^2\Re\{Z\}.

Passo 2

Calcular \beta l e \tan(\beta l):
\beta l = 2\pi\,\frac{l}{\lambda} = 2\pi\cdot0,15 = 0{,}3\pi\\ \text{rad}\approx0{,}9425\\ \text{rad}, \quad \tan(0{,}3\pi)\approx1{,}376.
Aplicando na fórmula de Z_{\mathrm{in}}:
Z_{\mathrm{in}} =50\,\frac{75 + j\,50\,(1{,}376)}{50 + j\,75\,(1{,}376)} =50\,\frac{75 + j\,68{,}8}{50 + j\,103{,}2} \approx41{,}3 - j\,16{,}3\\ \Omega.

Passo 3

Agora a corrente de entrada (fasor) é
I_{\text{entrada}} =\frac{V_s}{Z_s + Z_{\mathrm{in}}} =\frac{100\angle0^\circ}{50 + (41{,}3 - j\,16{,}3)} =\frac{100\angle0^\circ}{91{,}3 - j\,16{,}3} \approx1{,}07\angle10{,}2^\circ\\ \text{A}.
E a tensão na entrada da linha
V_{\text{entrada}} =I_{\text{entrada}}\;Z_{\mathrm{in}} \approx1{,}07\angle10{,}2^\circ\;\times(41{,}3\angle-21{,}3^\circ) \approx47{,}4\angle-11{,}1^\circ\\ \text{V}.

Passo 4

Como a linha é lossless, a parte real de Z_{\mathrm{in}} representa potência que vai para a carga. Logo, a potência média entregue à linha (e portanto à carga) é
P_{l} =|I_{\text{entrada}}|^2\;\Re\{Z_{\mathrm{in}}\} =(1{,}07)^2\cdot41{,}3 \approx46{,}3\\ \text{W}.

Passo 5

Para achar V_L\) e \(I_L\) podemos usar os parâmetros ABCD da linha: \[A=D=\cos(\beta l)=0{,}5878, \quad B=j\,Z_0\sin(\beta l)=j\,40{,}45, \quad C=j\,\frac{\sin(\beta l)}{Z_0}=j\,0{,}01618.
Então
\begin{cases} V_{\text{entrada}}=A\,V_L + B\,I_L,\\\ I_{\text{entrada}}=C\,V_L + A\,I_L. \end{cases}
Da segunda equação isolamos V_L\]: \[I_{\text{entrada}} =C\,V_L + A\,\frac{V_L}{Z_L} \;\Longrightarrow\; V_L =\frac{I_{\text{entrada}}\,Z_L}{\,A + C\,Z_L\,} =\frac{1{,}07\angle10{,}2^\circ\;\times75}{0{,}5878 + j\,1{,}2135} \approx58{,}9\angle-54{,}6^\circ\\ \text{V}.\] E a corrente na carga \[I_L=\frac{V_L}{Z_L} \approx0{,}785\angle-54{,}6^\circ\\ \text{A}.\] A potência média na carga \[P_{\mathrm{L}} =|I_L|^2\,R_L =(0{,}785)^2\cdot75 \approx46{,}3\\ \text{W},\] coincidindo com \(P_l.

Resposta

a) Z_{\mathrm{in}}\approx41{,}3 - j\,16{,}3\\ \Omega.
b) I_{\text{entrada}}\approx1{,}07\angle10{,}2^\circ\\ \mathrm{A},
V_{\text{entrada}}\approx47{,}4\angle-11{,}1^\circ\\ \mathrm{V}.
c) P_{l}\approx46{,}3\\ \mathrm{W}.
d) V_{L}\approx58{,}9\angle-54{,}6^\circ\\ \mathrm{V},
I_{L}\approx0{,}785\angle-54{,}6^\circ\\ \mathrm{A},
P_{L}\approx46{,}3\\ \mathrm{W}.

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