01(3,0 pontos) Determinar os elementos e preencher a caderneta de locação de uma curva circular horizontal a ser construída no PI1 de uma rodovia de classe I, a partir das seguintes informações conhecidas:
-Declividade média da região =9 \%
Raio =250 \mathrm{~m}
\mathrm{Ac}=40^{\circ}
Estaca do PI1 =(170+10,00 \mathrm{~m})
Caderneta de Locação
Estaca Deflexão Parcial Deflexão Total

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos (pego exatamente do enunciado):
  • Pedido: determinar os elementos de uma curva circular horizontal e preencher a caderneta de locação (estacas e deflexões).
  • Dados conhecidos:
    • Declividade média da região =9\% (informação de terreno; não é usada nos cálculos geométricos horizontais, apenas para lembrar que a seção longitudinal existirá).
    • Raio \,R=250\\ \mathrm{m}.
    • Ângulo central da curva \,A_c=40^\circ.
    • Estaca do PI1 (ponto de interseção das tangentes) =\,(170+10,00\\ \mathrm{m}). Vou usar esse valor como estação em metros: \mathrm{PI}=170010{,}00\\ \mathrm{m}.
  • O objetivo prático: calcular os elementos geométricos da curva (tangente, comprimento da curva, estacas do PC e PT, etc.) e preencher a caderneta com as estacas ao longo da curva e as deflexões (parcial e total) para cada estaca, usando um espaçamento prático de locação.
    Observação: não foi dada uma distância de amostragem/espacamento; vou usar o espaçamento prático de 10\\ \mathrm{m} entre estacas (método comum) e resolver a partir daí. Não faço suposições não razoáveis além dessa escolha.

Passo 2

Resumo das fórmulas principais (aulas rápidas e o que cada variável significa):
  • Ângulo central em radianos: se \,A_c está em graus, converte-se para radianos por \,A_{c,\mathrm{rad}}=\dfrac{\pi}{180}\,A_c.
  • Tangente da curva ( T): distância do PI até o PC (ou do PI até o PT). Fórmula:
T = R\cdot \tan\!\left(\dfrac{A_c}{2}\right).
Aqui R é o raio e A_c/2 é metade do ângulo central (ângulo entre a tangente e a linha do ponto de tangência).
  • Comprimento da curva ( L): comprimento do arco circular:
L = R\cdot A_{c,\mathrm{rad}}.
Aqui A_{c,\mathrm{rad}} é o ângulo central em radianos.
  • Estacas principais:
    • Estaca do PC (ponto de início da curva) = \text{estaca do PI} - T.
    • Estaca do PT (ponto de término) = \text{estaca do PC} + L.
  • Para locação por deflexões usando cordas (chords) de comprimento constante c:
    • Ângulo central correspondente a uma corda c:
    \alpha = 2\arcsin\!\left(\dfrac{c}{2R}\right).
    • A deflexão parcial associada a essa corda (ângulo que se aplica para cada corda ao montar a curva a partir da tangente no PC) é metade desse ângulo central:
    \delta_{\text{parcial}}=\dfrac{\alpha}{2}.
    • A deflexão total até o k-ésimo ponto é a soma das deflexões parciais até ali (ou, de modo equivalente, metade da soma dos ângulos centrais correspondentes aos arcos até esse ponto).
  • Explicação didática curta: a deflexão é o ângulo que se abre a partir da tangente do PC para “apontar” cada corda sucessiva. Para uma corda de comprimento c, a corda subtende um ângulo central \alpha no centro da curva; o ângulo entre a tangente e a corda é exatamente \alpha/2. Por isso somamos \alpha/2 para obter as deflexões acumuladas.

Passo 3

Cálculo numérico dos elementos básicos (vou mostrar passo a passo as contas sem pular):
  • Converter \,A_c para radianos:
A_{c,\mathrm{rad}}=\dfrac{\pi}{180}\cdot 40^\circ=\dfrac{2\pi}{9}\\ \text{rad}\approx 0{,}6981317008\\ \text{rad}.
  • Calcular a tangente T:
T = 250\cdot \tan\!\left(20^\circ\right).
Explicando: usamos 20^\circ porque é \dfrac{A_c}{2}. Calcule:
\tan 20^\circ \approx 0{,}3639702343,
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T \approx 250\cdot 0{,}3639702343 = 90{,}99255858\\ \mathrm{m}.
  • Calcular o comprimento da curva L:
L = 250\cdot 0{,}6981317008 \approx 174{,}5329252\\ \mathrm{m}.
  • Calcular estacas PC e PT (usando a estaca do PI dada \mathrm{PI}=170010{,}00\\ \mathrm{m}):
\mathrm{PC} = \mathrm{PI} - T = 170010{,}00 - 90{,}99255858 = 169919{,}00744142\\ \mathrm{m}.
\mathrm{PT} = \mathrm{PC} + L = 169919{,}00744142 + 174{,}5329252 = 170093{,}5403666\\ \mathrm{m}.
Verificação rápida: \mathrm{PC} + T = 169919{,}00744142 + 90{,}99255858 = 170010{,}00 (ou seja, volta ao PI — coerente).
  • Arredondarei as estacas para centésimos de metro para a caderneta (formato de estaca usado aqui: XXX+YYY,ZZ onde XXX são milhares e YYY,ZZ metros decimais). Assim:
\mathrm{PI}=170+010,00,\quad \mathrm{PC}=169+919,01,\quad \mathrm{PT}=170+093,54.

Passo 4

Escolha do espaçamento e cálculo das deflexões por cordas de comprimento c=10{,}00\\ \mathrm{m} (escolha prática comum):
  • Número de cordas inteiras n=\left\lfloor\dfrac{L}{c}\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac{174{,}5329}{10}\right\rfloor=17 cordas de 10{,}00\\ \mathrm{m} e sobra uma última corda com comprimento
c_{\text{últ}} = L - 17\cdot 10 = 174{,}5329252 - 170 = 4{,}5329252\\ \mathrm{m}.ú
  • Cálculo do ângulo central correspondente a uma corda de 10\\ \mathrm{m}:
\alpha = 2\arcsin\!\left(\dfrac{10}{2\cdot 250}\right)=2\arcsin(0{,}02).
Avaliação numérica:
\arcsin(0{,}02)\approx 0{,}02000066669\\ \text{rad},
então
\alpha \approx 0{,}04000133338\\ \text{rad}.
  • Deflexão parcial por corda de 10\\ \mathrm{m}:
\delta_{\text{parcial,10m}}=\dfrac{\alpha}{2}\approx 0{,}02000066669\\ \text{rad}.
Converter para graus (multiplicar por 180/\pi):
\delta_{\text{parcial,10m}}\approx 0{,}02000066669\cdot \dfrac{180}{\pi}\approx 1{,}145915590^\circ.
  • Para a última corda de 4{,}5329252\\ \mathrm{m}:
\alpha_{\text{últ}}=2\arcsin\!\left(\dfrac{4{,}5329252}{500}\right)=2\arcsin(0{,}0090658504)\approx 0{,}0181319494\\ \text{rad},ú
portanto
\delta_{\text{parcial,últ}}=\dfrac{\alpha_{\text{últ}}}{2}\approx 0{,}0090659747\\ \text{rad}\approx 0{,}51957785^\circ.úú
  • Checagem: soma das deflexões parciais =17\cdot 1{,}145915590^\circ + 0{,}51957785^\circ \approx 20{,}000142\!^\circ, que é (dentro do arredondamento) exatamente \dfrac{A_c}{2}=20^\circ. Assim ao final a deflexão total é 20^\circ (coerente: toda a curva de 40^\circ tem deflexão total de A_c/2 a partir da tangente do PC).

Passo 5

Como preencher a caderneta de locação (método prático e o que cada coluna significa):
  • Coluna “Estaca”: estaca da peça da via ao longo do eixo (PC + distância de arco até o ponto). Vou usar incrementos de arco iguais aos comprimentos das cordas (ou seja, estacas a cada 10{,}00\\ \mathrm{m} de arco até as 17 cordas e a estaca final PT com a corda remanescente).
  • Coluna “Deflexão Parcial”: ângulo a apontar a partir da última direção (é o incremento que deve ser aplicado naquele lance) — aqui será \,1{,}145915590^\circ para cada corda de 10 m e \,0{,}51957785^\circ para a última.
  • Coluna “Deflexão Total”: ângulo acumulado contando desde o PC (soma das parciais) — isto é usado para conferir e para apontar os azimutes absolutos se necessário.
  • Notas de arredondamento: apresentarei deflexões em graus com 4 casas decimais para clareza, e as estacas com centésimos de metro.

Passo 6

Cálculo das estacas e das deflexões (lista numérica, soma acumulada). Partindo de \mathrm{PC}=169919{,}00744142\\ \mathrm{m} (arredondarei estacas a centésimos para a caderneta):
  • Estacas (PC e sucessivas somando arco):
    • PC = 169919{,}01 ( =169+919,01).
    • 1ª estaca após PC: 169919{,}01 + 10{,}00 = 169929{,}01.
    • Seguem adicionando 10{,}00 até a 17ª (que é 169919{,}01 + 170{,}00 = 170089{,}01).
    • PT final = PC + L = 170093{,}54.
  • Deflexões (parcial e total) calculadas conforme explicado; valores com 4 casas decimais (vírgula decimal):
    • Deflexão parcial para cada corda de 10{,}00\\ \mathrm{m}: \,1,1459^\circ (mais precisamente 1,145915590^\circ).
    • Deflexão parcial para a última corda (PC→PT restante): \,0,5196^\circ (mais precisamente 0,51957785^\circ).
    • Deflexões totais são acumuladas linha a linha.

Resposta

R =250\\ \mathrm{m}
A_c=40^\circ
\mathrm{PI}=170+010,00
Tangente: T=90{,}99255858\\ \mathrm{m} (arredondado para 90{,}9926\\ \mathrm{m})
Comprimento da curva: L=174{,}5329252\\ \mathrm{m} (arredondado para 174{,}5329\\ \mathrm{m})
Estaca do PC: \mathrm{PC}=169+919,01 ( 169919{,}01\\ \mathrm{m})
Estaca do PT: \mathrm{PT}=170+093,54 ( 170093{,}54\\ \mathrm{m})
Espaçamento adotado para locação: c=10{,}00\\ \mathrm{m}. Número de cordas inteiras =17, corda final =4{,}5329\\ \mathrm{m} (aprox.).
Caderneta de Locação (Estaca — Deflexão Parcial — Deflexão Total). As deflexões estão em graus com 4 casas decimais.
169+919,01 0,0000^\circ 0,0000^\circ
169+929,01 1,1459^\circ 1,1459^\circ
169+939,01 1,1459^\circ 2,2918^\circ
169+949,01 1,1459^\circ 3,4377^\circ
169+959,01 1,1459^\circ 4,5837^\circ
169+969,01 1,1459^\circ 5,7296^\circ
169+979,01 1,1459^\circ 6,8755^\circ
169+989,01 1,1459^\circ 8,0214^\circ
169+999,01 1,1459^\circ 9,1673^\circ
170+009,01 1,1459^\circ 10,3132^\circ
170+019,01 1,1459^\circ 11,4592^\circ
170+029,01 1,1459^\circ 12,6051^\circ
170+039,01 1,1459^\circ 13,7510^\circ
170+049,01 1,1459^\circ 14,8969^\circ
170+059,01 1,1459^\circ 16,0428^\circ
170+069,01 1,1459^\circ 17,1887^\circ
170+079,01 1,1459^\circ 18,3346^\circ
170+089,01 1,1459^\circ 19,4806^\circ
170+093,54 0,5196^\circ 20,0002^\circ
(Observação: o ângulo final total é, dentro do arredondamento, exatamente 20,00^\circ que corresponde a A_c/2.)

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