Determine a distância
do centro de gravidade da barra homogênea curvada no formato parabólico. Se a barra tem peso por unidade de comprimento de
pé, determine as reações no apoio fixo
.
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que ele pede, e também o que está faltando para eu poder dar um valor numérico.
- O enunciado dá:
- A barra é homogênea e tem formato parabólico (ou seja, é um arco cuja equação não foi informada).
- O peso por unidade de comprimento é
. - Há um apoio fixo em
.
- O enunciado pede:
- Determinar a distância
do centro de gravidade da barra (presumo que seja a abscissa horizontal do CG medida a partir de ). - Determinar as reações no apoio fixo
.
- Determinar a distância
- Informação que está faltando (essencial):
- A equação da parábola (por exemplo,
) ou, equivalente, as coordenadas dos pontos que definem a barra. - Os limites do arco (valores de
de início e fim, por exemplo a ). - A posição de
em relação ao sistema de coordenadas (por exemplo: é o ponto com ?).
- A equação da parábola (por exemplo,
- Conclusão do Passo 1: sem a equação/limites da parábola e a posição de
não é possível calcular valores numéricos. Portanto a solução numérica não pode ser fornecida. Vou, porém, explicar passo a passo o método que se aplica, dar as fórmulas gerais (onde você só precisa substituir a função e os limites) e mostrar como obter as reações a partir do centro de gravidade.
Passo 2
Conceito e fórmula geral para o centro de gravidade de uma barra fina (curva) homogênea.
- Raciocínio físico: a barra é homogênea, então a massa (ou peso) está distribuída ao longo do comprimento do arco com densidade linear constante
(peso por unidade de comprimento). O centro de gravidade de uma linha curva (barra fina) é obtido pela média ponderada das coordenadas ao longo do arco, ponderando por comprimento elemental. - Fórmulas (definições):
- O elemento de comprimento da curva, quando a curva é dada por
e parametrizada por , é
- O comprimento total da barra (arc length) é
- A coordenada
do centro de gravidade (abscissa do CG) é definida por
- Análogo para
(se precisar):
- O elemento de comprimento da curva, quando a curva é dada por
- Observação didática: cada integral acima é uma média ponderada ao longo do arco; o fator
transforma integrais sobre em integrais sobre comprimento real da curva.
Passo 3
Como montar as integrais no caso concreto “parabólica” (fórmula generalizada). Não estou assumindo valores numéricos, só a forma.
- Suponha que a parábola seja dada por
válida para . Então: As expressões que você deve avaliar são - Passo prático na prova: identifique
e calcule . Substitua e resolva as integrais. Em muitos casos de parábola simples (por exemplo ou ) as integrais podem ser resolvidas por substituições trigonométricas ou por formas com (inverso do seno hiperbólico) — eu explico um pouco como resolver logo a seguir.
Passo 4
Como resolver na prática as integrais para uma parábola típica
(exemplo de cálculo simbólico, para mostrar o procedimento). Atenção: isto é um exemplo; não estou assumindo que esta seja a parábola do enunciado, é apenas para ensinar.
- Para
tem-se . Então As integrais ficam - Como calcular essas integrais (ferramentas):
- Para
uma primitiva útil é
onde . - Para
use substituição ou . Uma primitiva é
que pode ser verificada por derivação. - Para
- Assim, com
você obtém expressões fechadas para e para o numerador de ; em seguida divide-se para obter . Em prova, escreva os limites e aplique as primitivas acima.
Passo 5
Cálculo do peso resultante e reações no apoio fixo
a partir do centro de gravidade.
- Peso total da barra:
Aqui (dado). - Local de aplicação do peso: atua verticalmente para baixo na linha de ação que passa por
. - Reações em
(apoio fixo em plano 2D): - Um apoio fixo fornece reação vertical
, reação horizontal e um momento resistente . - Neste problema, não há cargas horizontais distribuídas, apenas o peso vertical. Portanto normalmente
(a menos que a parábola esteja inclinada e gere componente axial, mas para peso vertical a resultante é vertical). - Equilíbrio vertical:
- Momento em
: torque que o peso total cria em torno de é igual à soma dos momentos dos elementos com braço horizontal apropriado. Se é a distância horizontal de até o elemento , o momento total devido ao peso (em torno de ) é
- Observação: esta expressão é a forma direta do momento: soma dos
. - Alternativamente, usando
e ,
- Um apoio fixo fornece reação vertical
- Resumo prático para a prova: depois de calcular
e , -
. -
. -
se nenhuma carga horizontal existir.
-
Passo 6
Passo a passo condensado que você fará na prova (checklist prático).
- Identifique a equação da parábola
e os limites . Confirme onde está (por exemplo em ). - Calcule
. - Calcule as integrais
- Calcule
. - Calcule
, com . - Reações em
: , , (se não houver outra carga horizontal). - Se for pedido
, proceda com e .
Resposta
(Para obter valores numéricos substitua a função parabólica
, os limites
e então avalie as integrais. Sem esses dados não é possível fornecer números.)