Desenvolva as expressões para a carga crítica
e para a tensão critica
para as seguintes seções transversais:
Seção circular;
Seção circular;
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado:
- Pedir: desenvolver expressões para a carga crítica
e para a tensão crítica de uma barra com seção transversal circular (diâmetro indicado na figura por ). - Dados que vamos usar/assumir (variáveis a aparecer nas fórmulas):
-
: módulo de Young do material (constante elástica). -
: comprimento do pilar/coluna. -
: diâmetro da seção circular (tirado da imagem). -
: área da seção transversal (a ser calculada em função de ). -
: segundo momento de área (moment of inertia) da seção em relação ao eixo neutro (a calcular). -
: fator de comprimento efetivo (depende das condições de contorno da coluna — por exemplo para articulado-articulado, para engastado-engastado, etc.).
O enunciado não especificou condições de contorno, então a expressão final ficará em termos de.
Neste passo não se resolve nada; apenas ficou claro o objetivo e as grandezas envolvidas.
-
Passo 2
Princípio físico e fórmula básica (Euler) — conceito e significado das variáveis:
- Para colunas delgadas submetidas a compressão axial, a flambagem elástica crítica (primeira modo) ocorre quando a carga axial atinge o valor de Euler
- Explicando cada símbolo:
-
é a carga de flambagem (força axial crítica). -
é o módulo de Young do material. -
é o segundo momento de área da seção em relação ao eixo que flamba (para uma coluna reta e carregada axialmente, usa-se o em relação ao eixo de flambagem). -
é o comprimento da coluna. -
é o fator que transforma no comprimento efetivo (condições de contorno).
Breve motivação (sem derivar inteiramente): a equação surge da solução da equação diferencial linear da linha elásticacom condições de contorno; as soluções não-triviais aparecem para na forma acima com constantes multiplicando . Não é necessário derivar todo o processo aqui para usar a fórmula.
-
Passo 3
Cálculo do segundo momento de área
para seção circular (aula passo a passo):
- Definição: o segundo momento de área em relação a um diâmetro (eixo
) é
onde
é a coordenada perpendicular ao eixo considerado.
- Para um círculo de raio
é conveniente usar coordenadas polares com e . Assim
- Calcule cada integral:
-
(porque tem média no período ). -
-
- Portanto
- Como o círculo é simétrico,
. Substituindo resulta
Essa é a fórmula padrão que você pode lembrar:
.
Passo 4
Cálculo da área da seção
(passo simples e importante para a tensão):
- Área do círculo de diâmetro
(ou raio ):
Passo 5
Substituir
na fórmula de Euler para obter
em função de
:
- Partindo de
e usando
, temos
- Comentário: essa é a expressão da carga crítica de Euler expressa diretamente em função do diâmetro da seção circular. Se souber o raio
, pode-se reescrever em termos de também.
Passo 6
Obter a tensão crítica
dividindo
pela área
:
- Definição usada:
- Substituindo
e :
- Simplificando fatores:
-
, -
, -
.
-
- Logo
- Interpretação rápida: a tensão crítica cresce com
(seção mais grossa suporta maior tensão antes de flambar) e diminui com o quadrado do comprimento efetivo .