Desenvolva as expressões para a carga crítica P_{\text {crítica }}í e para a tensão critica \sigma_{\text {crítica }}í para as seguintes seções transversais:
Seção circular;

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado:
  • Pedir: desenvolver expressões para a carga crítica P_{\text{crítica}}í e para a tensão crítica \sigma_{\text{crítica}}í de uma barra com seção transversal circular (diâmetro indicado na figura por d).
  • Dados que vamos usar/assumir (variáveis a aparecer nas fórmulas):
    • E: módulo de Young do material (constante elástica).
    • L: comprimento do pilar/coluna.
    • d: diâmetro da seção circular (tirado da imagem).
    • A: área da seção transversal (a ser calculada em função de d).
    • I: segundo momento de área (moment of inertia) da seção em relação ao eixo neutro (a calcular).
    • K: fator de comprimento efetivo (depende das condições de contorno da coluna — por exemplo K=1 para articulado-articulado, K=0{,}5 para engastado-engastado, etc.).
      O enunciado não especificou condições de contorno, então a expressão final ficará em termos de K.
      Neste passo não se resolve nada; apenas ficou claro o objetivo e as grandezas envolvidas.

Passo 2

Princípio físico e fórmula básica (Euler) — conceito e significado das variáveis:
  • Para colunas delgadas submetidas a compressão axial, a flambagem elástica crítica (primeira modo) ocorre quando a carga axial atinge o valor de Euler
P_{\text{crítica}}=\frac{\pi^2 E I}{(K L)^2}.í
  • Explicando cada símbolo:
    • P_{\text{crítica}}í é a carga de flambagem (força axial crítica).
    • E é o módulo de Young do material.
    • I é o segundo momento de área da seção em relação ao eixo que flamba (para uma coluna reta e carregada axialmente, usa-se o I em relação ao eixo de flambagem).
    • L é o comprimento da coluna.
    • K é o fator que transforma L no comprimento efetivo K L (condições de contorno).
      Breve motivação (sem derivar inteiramente): a equação surge da solução da equação diferencial linear da linha elástica E I y''(x)+P y(x)=0 com condições de contorno; as soluções não-triviais aparecem para P na forma acima com constantes \pi^2 multiplicando E I/L^2. Não é necessário derivar todo o processo aqui para usar a fórmula.

Passo 3

Cálculo do segundo momento de área I para seção circular (aula passo a passo):
  • Definição: o segundo momento de área em relação a um diâmetro (eixo x) é
I_x=\iint_A y^2\,\mathrm{d}A,
onde y é a coordenada perpendicular ao eixo considerado.
  • Para um círculo de raio R é conveniente usar coordenadas polares (\rho,\theta) com y=\rho\sin\theta e \mathrm{d}A=\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta. Assim
I_x=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R} (\rho\sin\theta)^2 \,\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta =\int_{0}^{2\pi}\sin^2\theta\,\mathrm{d}\theta\;\int_{0}^{R}\rho^3\,\mathrm{d}\rho.
  • Calcule cada integral:
    • \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin^2\theta\,\mathrm{d}\theta=\pi (porque \sin^2\theta tem média 1/2 no período 2\pi).
    • \displaystyle\int_{0}^{R}\rho^3\,\mathrm{d}\rho=\frac{R^4}{4}.
  • Portanto
I_x=\pi\cdot\frac{R^4}{4}=\frac{\pi R^4}{4}.
  • Como o círculo é simétrico, I_x=I_y. Substituindo R=\dfrac{d}{2} resulta
I=\frac{\pi}{4}\left(\frac{d}{2}\right)^4=\frac{\pi d^4}{64}.
Essa é a fórmula padrão que você pode lembrar: I_{\text{círculo, diâmetro }d}=\dfrac{\pi d^4}{64}íâ.

Passo 4

Cálculo da área da seção A (passo simples e importante para a tensão):
  • Área do círculo de diâmetro d (ou raio R=d/2):
A=\pi R^2=\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2=\frac{\pi d^2}{4}.

Passo 5

Substituir I na fórmula de Euler para obter P_{\text{crítica}}í em função de d:
  • Partindo de
P_{\text{crítica}}=\frac{\pi^2 E I}{(K L)^2},í
e usando I=\dfrac{\pi d^4}{64}, temos
P_{\text{crítica}}=\frac{\pi^2 E}{(K L)^2}\cdot\frac{\pi d^4}{64} =\frac{\pi^3 E d^4}{64\,(K L)^2}.í
  • Comentário: essa é a expressão da carga crítica de Euler expressa diretamente em função do diâmetro da seção circular. Se souber o raio R, pode-se reescrever em termos de R^4 também.

Passo 6

Obter a tensão crítica \sigma_{\text{crítica}}í dividindo P_{\text{crítica}}í pela área A:
  • Definição usada:
\sigma_{\text{crítica}}=\frac{P_{\text{crítica}}}{A}.íí
  • Substituindo P_{\text{crítica}}=\dfrac{\pi^3 E d^4}{64 (K L)^2}í e A=\dfrac{\pi d^2}{4}:
\sigma_{\text{crítica}}=\frac{\dfrac{\pi^3 E d^4}{64 (K L)^2}}{\dfrac{\pi d^2}{4}} =\frac{\pi^3 E d^4}{64 (K L)^2}\cdot\frac{4}{\pi d^2}.í
  • Simplificando fatores:
    • 4/64=1/16,
    • \pi^3/\pi=\pi^2,
    • d^4/d^2=d^2.
  • Logo
\sigma_{\text{crítica}}=\frac{\pi^2 E d^2}{16\,(K L)^2}.í
  • Interpretação rápida: a tensão crítica cresce com d^2 (seção mais grossa suporta maior tensão antes de flambar) e diminui com o quadrado do comprimento efetivo K L.

Resposta

P_{\text{crítica}}=\frac{\pi^3 E d^4}{64\,(K L)^2}í
\sigma_{\text{crítica}}=\frac{\pi^2 E d^2}{16\,(K L)^2}í

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