02- Calcule a velocidade do nêutron ( m=1,675 \times 10^{-27} \mathrm{~kg} ) que possui comprimento de onda de Broglie de \lambda=2.0 Ă (ângstrons).

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (lista clara):
  • Dá a massa do nêutron: m=1,675\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
  • Dá o comprimento de onda de Broglie: \lambda=2,0\\ \text{\AA}.
  • Pede a velocidade do nêutron: v=\\ ?
Informação necessária que vou usar (sem resolver ainda):
  • Conversão de ângstrom para metro: 1\\ \text{\AA}=1\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
  • A relação de Broglie que liga comprimento de onda \lambda ao momento linear p:
\lambda=\frac{h}{p},
onde h é a constante de Planck.
  • Em regime não relativístico, o momento linear está relacionado à velocidade por p=mv.
    Vamos aplicar essas fórmulas para obter v.

Passo 2

Explicação da teoria que vamos usar (aula rápida e direta):
  • A hipótese de de Broglie diz que partículas com momento linear p têm associada uma onda com comprimento de onda \lambda dada por
\lambda=\frac{h}{p}.
Aqui h é a constante de Planck (medida experimental): \;h=6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
  • Se a partícula não estiver tão rápida (ou seja, v muito menor que a velocidade da luz c), podemos usar a relação clássica entre momento e velocidade:
p=mv,
onde m é a massa e v a velocidade. Combinando as duas equações obtemos a fórmula prática para velocidade:
v=\frac{p}{m}=\frac{h}{m\lambda}.
  • Observação sobre validade: depois de calcular v, vou conferir que v\ll c para garantir que usar p=mv (não-relativístico) é aceitável.

Passo 3

Converter o comprimento de onda para metros e escrever a fórmula final:
  • Converter \lambda:
\lambda=2,0\\ \text{\AA}=2,0\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
  • Fórmula que vamos calcular:
v=\frac{h}{m\lambda}.

Passo 4

Unidades e verificação dimensional (por que isso funciona):
  • h tem unidades \mathrm{J\cdot s}. Como 1\\ \mathrm{J}=1\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}\cdot s^{-2}}, então \mathrm{J\cdot s}/\mathrm{m} tem unidades
\frac{\mathrm{kg\cdot m^{2}\cdot s^{-2}\cdot s}}{\mathrm{m}}=\mathrm{kg\cdot m\cdot s^{-1}},
que são exatamente unidades de momento p. Dividindo por m (kg) resta \mathrm{m\cdot s^{-1}}, ou seja, velocidade. Tudo consistente.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo:
  • Calcular o produto m\lambda:
m\lambda = \left(1,675\times10^{-27}\right)\left(2,0\times10^{-10}\right) =3,350\times10^{-37}\\ \mathrm{kg\cdot m}.
  • Agora calcular v usando h=6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}:
v=\frac{h}{m\lambda}=\frac{6,62607015\times10^{-34}}{3,350\times10^{-37}}.
  • Fazer a divisão em potências de dez e coeficientes:
\frac{6,62607015}{3,350}\approx1,9785\quad\text{e}\quad10^{-34-(-37)}=10^{3}.
Portanto
v\approx1,9785\times10^{3}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.

Passo 6

Arredondamento e verificação da hipótese não-relativística:
  • Com duas casas significativas do dado \lambda=2,0\\ \text{\AA} é razoável dar a resposta com três algarismos significativos:
v\approx1,98\times10^{3}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.
  • Verificação de que é não-relativístico: comparar com c\approx3,0\times10^{8}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}:
\frac{v}{c}\approx\frac{2,0\times10^{3}}{3,0\times10^{8}}\approx6,7\times10^{-6}\ll1,
ou seja, a aproximação clássica p=mv está perfeitamente válida.

Resposta

v=1,98\times10^{3}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}

Exercícios relacionados