02 - (0,2 pt) Dois eixos de transmissão - um vazado, com diâmetro externo de 100 mm e diâmetro interno de 60 mm ; o outro, maciço, com diâmetro de 100 mm - transmitem, cada um, uma potência de 200 kW . Considerando que ambos operem a uma rotação de \mathrm{f}=6 \mathrm{~Hz}, calcule a tensão cisalhante máxima em cada eixo.

Passo 1

O enunciado pede a tensão cisalhante máxima em dois eixos que transmitem a mesma potência de P=200\,\text{kW} a uma rotação de f=6\,\text{Hz}. O conteúdo é torção em seções circulares, e usaremos as fórmulas
\omega = 2\pi f,
T = \frac{P}{\omega},
\tau_{\max} = \frac{T\,c}{J},
onde c é o raio externo e J é o momento polar de inércia da seção.

Passo 2

Convertendo unidades e calculando a velocidade angular e o torque:
f = 6\,\text{Hz}\quad\Rightarrow\quad \omega = 2\pi f = 12\pi\\ \text{rad/s}.
P = 200\times10^{3}\,\text{W} \quad\Rightarrow\quad T = \frac{P}{\omega} = \frac{200\times10^{3}}{12\pi} \approx 5{,}305\,\text{N\cdotm}.

Passo 3

Para o eixo maciço de diâmetro d=100\,\text{mm} c=50\,\text{mm}=0{,}05\,\text{m}, o momento polar é
J_{\text{mac}} = \frac{\pi}{2}\,c^{4} = \frac{\pi}{2}\,(0{,}05)^{4} \approx 9{,}8175\times10^{-6}\,\text{m}^{4}.
Logo,
\tau_{\max,\text{mac}} = \frac{T\,c}{J_{\text{mac}}} = \frac{5{,}305\cdot0{,}05}{9{,}8175\times10^{-6}} \approx 27{,}0\times10^{6}\,\text{Pa} =27{,}0\,\text{MPa}.

Passo 4

Para o eixo oco de diâmetro externo 100\,\text{mm} c=0{,}05\,\text{m} e interno 60\,\text{mm} c_i=0{,}03\,\text{m},
J_{\text{oco}} = \frac{\pi}{2}\,\bigl(c^{4}-c_{i}^{4}\bigr) = \frac{\pi}{2}\,\bigl((0{,}05)^{4}-(0{,}03)^{4}\bigr) \approx 8{,}548\times10^{-6}\,\text{m}^{4}.
Portanto,
\tau_{\max,\text{oco}} = \frac{T\,c}{J_{\text{oco}}} = \frac{5{,}305\cdot0{,}05}{8{,}548\times10^{-6}} \approx 31{,}0\,\text{MPa}.

Resposta

Eixo maciço: \tau_{\max}\approx27{,}0\,\text{MPa}
Eixo oco: \tau_{\max}\approx31{,}0\,\text{MPa}

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