04 - (0,2 pts) Para um eixo de aço, são dados \mathrm{D}= 25 \mathrm{~cm}, \mathrm{~d}=10 \mathrm{~cm}, \tau_{\text {adm }}=800 \mathrm{~kg} / \mathrm{cm}^{2} e G= 850 \mathrm{t} / \mathrm{cm}^{2}. Que potência, em cavalos vapor, pode esse eixo transmitir com \mathrm{n}=100 \mathrm{rpm} ? Qual o deslocamento angular correspondente ao comprimento \mathrm{L}=9 \mathrm{~m} ? (Obs.: Um cavalo-vapor (cv) é definido como a potência necessária para elevar um peso de 75 kg a uma altura de 1 metro em 1 segundo.)

Passo 1

O enunciado trata de um eixo tubular de aço submetido à torção. Temos diâmetro externo \,D=25,cm, interno \,d=10,cm, tensão admissível \,\tau_{\rm adm}=800,kgf/c m^{2} e módulo de cisalhamento \,G=850,t/c m^{2}. Ele gira a \,n=100,rpm. Precisamos:
  1. A potência máxima que o eixo pode transmitir, em cavalos-vapor (cv).
  2. O ângulo de torção ao longo de L=9,m.
Para isso vamos usar:
  • Momento de inércia polar do tubo
J = \frac{\pi}{32}\bigl(D^4 - d^4\bigr).
  • Tensão de cisalhamento em torção
\tau = \frac{T\,c}{J}\quad\Longrightarrow\quad T = \frac{\tau_{\rm adm}\,J}{c}.
  • Potência em torção
P = T\,\omega,\quad \omega = \frac{2\pi n}{60}.
  • Conversão para cv: 1,cv = potência de 75,kg f\cdot m/s.
  • Ângulo de torção
\varphi = \frac{T\,L}{J\,G}.

Passo 2

Calculamos primeiro J e o torque admissível T.
J = \frac{\pi}{32}\bigl(25^4 - 10^4\bigr) = \frac{\pi}{32}\bigl(390625 - 10000\bigr) = \frac{380625\,\pi}{32} \approx 37568{,}7\;\text{cm}^4.
O raio externo é c=D/2=12{,}5,cm, logo
T = \frac{\tau_{\rm adm}\,J}{c} = \frac{800\;\text{kgf/cm}^2 \times 37568{,}7\;\text{cm}^4}{12{,}5\;\text{cm}} \approx 2{,}404{,}4\times10^6\;\text{kgf\cdotcm}.
Convertendo para kg f\cdot m:
T = \frac{2{,}404{,}4\times10^6}{100} = 2{,}4044\times10^3\;\text{kgf\cdotm}.

Passo 3

A velocidade angular é
\omega = \frac{2\pi n}{60} = \frac{2\pi \cdot 100}{60} \approx 10{,}472\;\text{rad/s}.
A potência em kg f\cdot m/s é
P = T\,\omega = 24044\;\text{kgf\cdotm}\times 10{,}472\;\text{rad/s} \approx 2{,}5179\times10^5\;\text{kgf\cdotm/s}.
Convertendo para cv ( 1,cv = 75,kg f\cdot m/s):
P_{\rm cv} = \frac{2{,}5179\times10^5}{75} \approx 3357\;\text{cv}.

Passo 4

Agora o ângulo de torção ao longo de L=9,m = 900,cm. Convertendo G para kgf/c m^{2}:
G = 850\;\text{t/cm}^2 = 850\times1000\;\text{kgf/cm}^2 = 8,5\times10^5\;\text{kgf/cm}^2.
Logo
\varphi = \frac{T\,L}{J\,G} = \frac{2{,}4044\times10^6\;\text{kgf\cdotcm}\times900\;\text{cm}} {37568{,}7\;\text{cm}^4\times8{,}5\times10^5\;\text{kgf/cm}^2} \approx 0{,}0678\;\text{rad}.
Em graus isso dá
\varphi_{\rm (\circ)} = 0{,}0678\times\frac{180}{\pi}\approx3{,}9^\circ.

Resposta

Potência transmissível \approx 3357,cv.
Ângulo de torção \varphi\approx0{,}0678,rad (ou \approx3{,}9^\circ).

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