02(5,0) - Uma onda EM harmônica plana se propaga em um pedaço de vidro e tem as componentes do campo elétrico nas direções \hat{x}, \hat{y} e \hat{z} dadas respectivamente por:
E_{x}=5 \cos \left\{6 \pi \times 10^{14}\left[\left(z / 0.64 c_{0}\right)+t\right]\right\} \quad \mathrm{V} / \mathrm{m}, \quad E_{y}=5 \cos \left\{6 \pi \times 10^{14}\left[\left(z / 0.64 c_{0}\right)+t\right]\right\}
E_{z}=0. Considere as dimensões no SI, com c_{0}=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine:
(a) A amplitude do campo elétrico da onda; a frequência da onda em Hz; o comprimento de onda; a fase inicial; a direção e sentido do fluxo de energia.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • O enunciado fornece as componentes do campo elétrico (valores em SI):
E_x = 5\cos\!\left\{6\pi\times10^{14}\!\left[\frac{z}{0{,}64\,c_0}+t\right]\right\}\\ \mathrm{V/m}, \qquad E_y = 5\cos\!\left\{6\pi\times10^{14}\!\left[\frac{z}{0{,}64\,c_0}+t\right]\right\}\\ \mathrm{V/m},
E_z = 0.
  • Foi dado c_0 = 3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
O enunciado pede:
(a) amplitude do campo elétrico da onda;
(b) frequência da onda em Hz;
(c) comprimento de onda;
(d) fase inicial;
(e) direção e sentido do fluxo de energia.
No próximo passo começo a resolver cada item, explicando as fórmulas e conceitos usados.

Passo 2

Entender a forma geral da onda e identificar as quantidades que aparecem na fase.
A expressão dada tem a forma
\cos\!\big( \omega t + k z + \phi_0 \big),
onde:
  • \omega é a frequência angular (em rad/s), multiplicando t;
  • k é o número de onda (em rad/m), multiplicando z;
  • \phi_0 é a fase inicial (em rad).
Comparando com a fase do enunciado,
6\pi\times10^{14}\!\left[\frac{z}{0{,}64\,c_0}+t\right] = \underbrace{6\pi\times10^{14}}_{\text{coeficiente comum}}\; t \;+\; \underbrace{\frac{6\pi\times10^{14}}{0{,}64\,c_0}}_{k}\; z.
Logo a parte que multiplica t é \omega = 6\pi\times10^{14}\\ \mathrm{rad/s} e o termo que multiplica z é k = \dfrac{6\pi\times10^{14}}{0{,}64\,c_0}\\ \mathrm{rad/m}. A fase inicial \phi_0 é o termo independente de t e z; aqui não há termo constante adicional, então \phi_0=0. Vou usar isso para achar frequência e comprimento de onda.

Passo 3

Calcular a frequência (em Hz) a partir da frequência angular \omega.
Relação entre frequência angular \omega e frequência f:
\omega = 2\pi f,
onde f é em Hz (ciclos por segundo).
Temos \omega = 6\pi\times10^{14}\\ \mathrm{rad/s}. Então
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{6\pi\times10^{14}}{2\pi} = 3\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
Explicando rápido: dividir \omega por 2\pi transforma rad/s em ciclos/s (Hz). Aqui os \pi se cancelam dando 3\times10^{14} Hz. Respire, é um número grande — luz visível/PRÓXIMO ao infravermelho/visível.

Passo 4

Calcular o comprimento de onda \lambda.
Duas fórmulas equivalentes úteis:
  1. \lambda = \dfrac{v}{f}, onde v é a velocidade de fase da onda no meio;
  2. \lambda = \dfrac{2\pi}{k}, onde k é o número de onda.
Aqui o enunciado mostra que a velocidade de fase é v=0{,}64\,c_0 (pois a fase aparece com z/(0{,}64\,c_0), o que indica v=0{,}64\,c_0). Vou usar \lambda = v/f porque é mais direto.
Calcule v:
v = 0{,}64\,c_0 = 0{,}64\times 3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} = 1{,}92\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Já temos f = 3\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}. Então
\lambda = \frac{v}{f} = \frac{1{,}92\times10^{8}}{3\times10^{14}}\\ \mathrm{m} = 0{,}64\times10^{-6}\\ \mathrm{m} = 6{,}4\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Em unidades familiares, \lambda = 6{,}4\times10^{-7}\\ \mathrm{m} = 640\\ \mathrm{nm}.

Passo 5

Calcular a amplitude (módulo) do campo elétrico resultante.
Cada componente tem amplitude máxima 5\\ \mathrm{V/m} com a mesma função de tempo e espaço. Ou seja, o campo elétrico pode ser escrito como
\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = 5\cos(\dots)\,\hat{x} + 5\cos(\dots)\,\hat{y} + 0\,\hat{z} = \big(5\hat{x}+5\hat{y}\big)\cos(\dots).
A amplitude vetorial (o valor máximo de |\mathbf{E}|) é o módulo do vetor de amplitudes \mathbf{E}_0 = 5\hat{x}+5\hat{y}:
E_0 = |\mathbf{E}_0| = \sqrt{5^2 + 5^2 + 0^2} = \sqrt{25+25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\\ \mathrm{V/m}.
Explicando: quando duas componentes oscilam em fase (mesma cosinusóide), a amplitude resultante é a soma vetorial das amplitudes; aqui elas formam um vetor de módulo 5\sqrt{2}.

Passo 6

Determinar a fase inicial \phi_0.
A fase geral da cosenoide é
\Psi(z,t)=6\pi\times10^{14}\!\left[\frac{z}{0{,}64\,c_0}+t\right].
Para t=0 e z=0 (origem), \Psi(0,0)=0. Portanto a fase inicial \phi_0 (valor da fase no ponto de referência z=0,t=0) é
\phi_0 = 0\\ \text{rad}.
Se o enunciado pedisse a fase para outro ponto, usaríamos \Psi(z,t) avaliada ali.

Passo 7

Determinar a direção e o sentido do fluxo de energia (vetor de Poynting).
Conceito rápido e útil: para uma onda plana e transversal, o vetor de Poynting médio \langle\mathbf{S}\rangle aponta na direção de propagação da onda. A relação entre o sinal na fase e o sentido de propagação é:
  • Uma fase do tipo \cos(kz - \omega t + \dots) descreve uma onda que se propaga no sentido de +z.
  • Uma fase do tipo \cos(kz + \omega t + \dots) descreve uma onda que se propaga no sentido de -z.
No nosso caso a fase foi escrita como \cos(\omega t + k z) (ou equivalentemente \cos(k z + \omega t)), ou seja, tem o sinal “+” entre kz e \omega t. Isso corresponde a uma onda que se propaga na direção negativa do eixo z (sentido -\hat{z}).
Outra forma de ver: a velocidade de fase efetiva é v e o termo no argumento é kz + \omega t; deslocando z positivo aumenta a fase no mesmo sentido que aumentar t, portanto a crista se desloca para valores menores de z quando t aumenta — isto é, para -z.
Quanto à direção transversal do campo elétrico: o vetor de amplitude \mathbf{E}_0 está em direção \hat{x}+\hat{y} (polarização linear a 45^\circ no plano xy). O campo magnético associado \mathbf{B} estará perpendicular tanto a \mathbf{E} quanto à direção de propagação, e o vetor de Poynting \mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{H} terá direção igual à direção de propagação (aqui -\hat{z}).
Portanto o fluxo de energia (vetor de Poynting médio) aponta no sentido negativo do eixo z: direção -\hat{z}.

Passo 8

Resumo numérico final e interpretação física rápida (ânimo: já estamos quase lá!).
  • Amplitude do campo elétrico: E_0 = 5\sqrt{2}\\ \mathrm{V/m}.
  • Frequência: f = 3\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
  • Comprimento de onda: \lambda = 6{,}4\times10^{-7}\\ \mathrm{m} = 640\\ \mathrm{nm}.
  • Fase inicial (em z=0,t=0): \phi_0 = 0\\ \mathrm{rad}.
  • Direção e sentido do fluxo de energia: aponta para -\hat{z} (energia propagando no sentido negativo do eixo z).

Resposta

E_{0}=5\sqrt{2}\\ \mathrm{V/m}
f=3\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}
\lambda=6{,}4\times10^{-7}\\ \mathrm{m} (ou 640\\ \mathrm{nm})
\phi_{0}=0\\ \mathrm{rad}
Fluxo de energia: direção -\hat{z} (energia se propaga no sentido negativo do eixo z).

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