03)QUAL É A FÓRMULA DO CAMPO MAGNÉTICO GERADO POR UMA CORRENTE ELÉTRICA EM UM FIO RETO INFINITO, E NOMINE CADA COMPONENTE DA FÓRMULA E DE A SUA UNIDADE?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Dar a fórmula do campo magnético gerado por uma corrente elétrica em um fio reto infinito.
  • Nomear cada componente da fórmula e indicar sua unidade.
Informações relevantes (o que sei e vou usar):
  • Trata-se de um fio reto e infinito, com corrente I.
  • Quero o campo magnético \mathbf{B} a uma distância r do fio.
  • Vou usar a simetria do problema e a Lei de Ampère (ou, se preferir pensar assim, o resultado da Lei de Biot–Savart aplicado ao fio infinito).

Passo 2

Breve aula sobre a Lei de Ampère (intuição prática):
  • A Lei de Ampère diz que a circulação do campo magnético ao longo de um caminho fechado é igual a \mu_0 vezes a corrente elétrica que atravessa a superfície encostada nesse caminho.
  • Escrevendo isso matematicamente:
\oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \mu_0 I_{\text{enc}}.
  • Aqui \oint é integral de linha ao longo de um percurso fechado, d\boldsymbol{\ell} é um elemento de comprimento do percurso (vetor tangente), I_{\text{enc}} é a corrente envolvida pelo percurso, e \mu_0 é a permeabilidade do vácuo (constante física).

Passo 3

Aplicando Ampère ao fio reto infinito (escolha inteligente do caminho):
  • Pelo problema de simetria: ao redor de um fio retilíneo infinito o campo magnético tem magnitude constante sobre círculos concêntricos ao fio e é tangente a esses círculos (sente-se azimutalmente).
  • Escolho um caminho circular de raio r centrado no fio. Então \mathbf{B} é tangente e de módulo constante ao longo do caminho, logo:
\oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = B(r)\cdot (2\pi r).
  • A corrente envolvida é I. Aplicando Ampère:
B(r)\cdot (2\pi r) = \mu_0 I.
  • Isolando B(r):
B(r) = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}.

Passo 4

Forma vetorial e direção (regra prática e notação):
  • A expressão acima dá o módulo de \mathbf{B}. A forma vetorial, indicando direção azimutal (tangencial ao círculo, chamada \hat{\varphi} em coordenadas cilíndricas), é
\mathbf{B}(r) = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}\,\hat{\varphi}.
  • A direção (sentido de \hat{\varphi}) é dada pela regra da mão direita: apontando o polegar no sentido da corrente I, os dedos enrolados mostram o sentido de \mathbf{B} ao redor do fio.
  • Observação alternativa: a Lei de Biot–Savart fornece o mesmo resultado quando aplicada e integrada para o fio infinito; mas Ampère é mais direto por simetria aqui.

Passo 5

Explicação didática de cada símbolo da fórmula (o que significa e unidade):
  • \mathbf{B}(r): campo magnético no ponto a distância r do fio. Unidade: tesla, \mathrm{T}. (Equivalente: 1\\ \mathrm{T}=1\\ \mathrm{N/(A\cdot m)}.)
  • B(r): módulo de \mathbf{B}(r); mesma unidade \mathrm{T}.
  • \mu_0: permeabilidade do vácuo (constante física). Valor numérico em SI:
\mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}\\ \mathrm{N/A^{2}}.
Unidades alternativas equivalentes: \mathrm{H/m} (henry por metro) ou \mathrm{T\cdot m/A}.
  • I: corrente elétrica que percorre o fio. Unidade: ampere, \mathrm{A}.
  • r: distância perpendicular do ponto ao eixo do fio (raio do círculo de simetria). Unidade: metro, \mathrm{m}.
  • 2\pi: número adimensional (circunferência de círculo de raio unitário); sem unidade.
  • \hat{\varphi}: vetor unitário azimutal (direção tangente ao círculo em torno do fio). É adimensional (vetor unitário que indica direção e sentido).

Passo 6

Intuição final e comportamento importante para a prova:
  • O campo magnético decai como 1/r: dobrando a distância, o campo fica metade; isso é útil para respostas rápidas em prova.
  • O sentido é circular em torno do fio e não aponta radialmente nem ao longo do fio.
  • Se o fio não for infinito, precisa-se aplicar Biot–Savart integral explicitamente (mas para fio muito longo, a expressão acima é boa aproximação no interior).
  • Pequeno exemplo numérico (pra fixar): se I=2\\ \mathrm{A} e r=1\\ \mathrm{cm}=0,01\\ \mathrm{m},
B=\dfrac{4\pi\times10^{-7}\cdot 2}{2\pi\cdot 0,01} = \dfrac{8\pi\times10^{-7}}{2\pi\cdot 0,01} = \dfrac{4\times10^{-7}}{0,01}=4\times10^{-5}\\ \mathrm{T}.
Isso mostra como fazer contas rápidas sem calculadora simplificando fatores \pi.

Resposta

\displaystyle \mathbf{B}(r)=\dfrac{\mu_{0}\,I}{2\pi r}\,\hat{\varphi}
\mu_{0}: permeabilidade do vácuo, \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{N/A^{2}} (equivalente a \mathrm{T\cdot m/A}).
I: corrente elétrica no fio, unidade \mathrm{A} (ampere).
r: distância perpendicular ao fio, unidade \mathrm{m} (metro).
\hat{\varphi}: vetor unitário azimutal (direção tangencial ao redor do fio), adimensional.
\mathbf{B}: campo magnético, unidade \mathrm{T} (tesla) = \mathrm{N/(A\cdot m)}.

Exercícios relacionados