O motorista dá partida no carro para iniciar sua viagem. O sistema de ignição do carro possui um conjunto de velas ligadas aos terminais de uma bobina de 30.000 espiras circulares. O diâmetro médio das espiras é igual a 4,0 \mathrm{~cm}. Esse sistema, quando acionado, produz uma variação do campo magnético, B , de 10^{3} \mathrm{~T} na bobina, sendo o campo B perpendicular ao plano das espiras. Estabeleça o módulo da tensão resultante entre os terminais da bobina quando o sistema de ignição é acionado. Considere \pi=3,15 e o tempo de acionamento de 1 s .

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado nos dá (peguei todos os números do enunciado) e o que é pedido.
  • Número de espiras: N=30\,000.
  • Diâmetro médio das espiras: d=4{,}0\\ \text{cm}.
  • Logo, raio médio: r=\dfrac{d}{2}=2{,}0\\ \text{cm}.
  • Variação do campo magnético: \Delta B=10^{3}\\ \text{T}. O enunciado diz que o campo é perpendicular ao plano das espiras.
  • Tempo de acionamento: \Delta t=1\\ \text{s}.
  • Use \pi=3{,}15 conforme pedido.
  • O que se pede: estabelecer o módulo da tensão (diferença de potencial) resultante entre os terminais da bobina quando o sistema é acionado.

Passo 2

Enunciando a lei que vamos usar (com explicação didática).
  • A lei de indução de Faraday nos diz que a fem (força eletromotriz) induzida em uma bobina com N espiras é
\mathcal{E} = -N\,\frac{d\Phi}{dt},
onde:
  • \mathcal{E} é a fem induzida (em volts),
  • N é o número de espiras,
  • \Phi é o fluxo magnético através de uma espira (em weber, Wb),
  • d\Phi/dt é a taxa de variação do fluxo.
  • O sinal negativo é a Lei de Lenz (direção da fem que se opõe à variação do fluxo). Como o enunciado pede o módulo da tensão, vamos calcular o valor absoluto de \mathcal{E}.
  • Para um campo magnético uniforme e perpendicular ao plano de cada espira vale
\Phi = B\;A,
onde A é a área da espira. Como o campo varia de forma uniforme, podemos usar \Delta\Phi = A\,\Delta B e, em aproximação de variação uniforme em \Delta t,
\left|\mathcal{E}\right| = N\,\frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t} = N\,\frac{A\,|\Delta B|}{\Delta t}.

Passo 3

Calcular a área de uma espira, com conversão de unidades e usando \pi=3{,}15.
  • Converter raio para metros: r=2{,}0\\ \text{cm}=0{,}02\\ \text{m}.
  • Área de uma espira:
A = \pi r^{2}.
Substituindo os valores:
r^{2}=(0{,}02)^{2}=4\times10^{-4}\\ \text{m}^{2},
A = 3{,}15 \times 4\times10^{-4}=1{,}26\times10^{-3}\\ \text{m}^{2}.

Passo 4

Calcular a taxa de variação do fluxo e a fem induzida (mostrando as contas passo a passo).
  • Como \Delta\Phi = A\,\Delta B, temos
\frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t} = \frac{A\,|\Delta B|}{\Delta t}.
Substituindo A=1{,}26\times10^{-3}\\ \text{m}^{2}, |\Delta B|=10^{3}\\ \text{T} e \Delta t=1\\ \text{s}:
\frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t} = \frac{1{,}26\times10^{-3}\times10^{3}}{1} = 1{,}26\\ \text{Wb/s}.
  • Agora multiplicar por N:
\left|\mathcal{E}\right| = N \times 1{,}26 = 30\,000 \times 1{,}26.
Fazendo a multiplicação:
30\,000 \times 1{,}26 = 37\,800.
  • Unidade: 1\\ \text{Wb/s}=1\\ \text{V}, logo
\left|\mathcal{E}\right| = 37\,800\\ \text{V}.

Passo 5

Interpretação rápida e comentário final (motivação).
  • O valor \left|\mathcal{E}\right|=37\,800\\ \text{V} é o módulo da tensão induzida entre os terminais da bobina considerando a variação uniforme de 10^{3}\\ \text{T} em 1\\ \text{s} e as aproximações dadas. O sinal negativo original da lei indicaria a direção da corrente induzida, mas como o enunciado pediu o módulo, trazemos o valor positivo.
  • Vai dar tudo certo na prova: memorize a fórmula \mathcal{E}=-N\,d\Phi/dt, saiba que \Phi=BA quando B é perpendicular e uniforme, e faça as conversões de unidade com calma — isso resolve muitos exercícios parecidos.

Resposta

\,3{,}78\times10^{4}\\ \text{V}

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