04.Observa-se que a distribuição de temperaturas, em regime estacionário, no interior de uma parede unidimensional com condutividade térmica de 150 \mathrm{W} /(\mathrm{m} \mathrm{K}) e espessura de 80 mm tem a forma \mathrm{T}\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)= a +\mathrm{bx}^{2}, em que \mathrm{a}=100^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{b}=-500^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2} e x está em metros.
4.1. A taxa de geração de calor na parede \mathrm{em} \mathrm{kW} / \mathrm{m}^{3} é:
(A) 25
(B) 50
(C)100
(D) 150
4.2. O fluxo térmico no final da parede em \mathrm{kW} / \mathrm{m}^{2} é:
(A) 6
(B) 12
(C) 24
(D) 30

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de temperatura no interior de uma parede unidimensional, em regime estacionário, pela expressão
T\left(^{\circ}\mathrm{C}\right)=a + b x^{2},
com a=100^{\circ}\mathrm{C}, b=-500^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2} e x em metros. A parede tem condutividade térmica k=150\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K}) e espessura 80\\ \mathrm{mm}=0{,}08\\ \mathrm{m}.\n\nAs perguntas são:
\text{4.1. Qual a taxa de geração de calor na parede (em kW/m}^3\text{)?}çã
\text{4.2. Qual o fluxo térmico no final da parede (em kW/m}^2\text{)?}é

Passo 2

Vamos lembrar a equação diferencial de equilíbrio de energia para condução unidimensional, em regime estacionário, com geração volumétrica uniforme \dot{q}''' (em \mathrm{W}/\mathrm{m}^3). Definindo q_x como o fluxo de calor no sentido positivo x, a conservação de energia numa fatia elementar dá
\frac{d q_x}{d x} = \dot{q}'''.
Pela Lei de Fourier, o fluxo é
q_x = -k\frac{dT}{d x}.
Substituindo, obtemos a equação diferencial clássica
-k\frac{d^2 T}{d x^2} = \dot{q}'''.
Explicando em palavras: se \dot{q}''' for positivo, há geração interna, o termo -k d^2T/dx^2 é positivo, o que implica que a curvatura de T(x) é negativa (concavidade voltada para baixo) — essa é a convenção usada em muitos livros. Reescrevendo para \dot{q}''',
\dot{q}''' = -k\frac{d^2 T}{d x^2}.

Passo 3

Calculemos a segunda derivada de T(x)=a+bx^2. Diferenciando:
\frac{dT}{dx}=2bx,
e diferenciando novamente,
\frac{d^2T}{dx^2}=2b.
Aqui b=-500\\ \mathrm{^{\circ}C/m^{2}}, então
\frac{d^2T}{dx^2}=2(-500)=-1000\\ \mathrm{^{\circ}C/m^{2}}.
(Obs.: como a unidade de T é ^\circ\mathrm{C}, a segunda derivada tem unidade ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}^2; ao multiplicar por k em \mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K}), tratamos graus Celsius e Kelvin como diferença de temperatura equivalente, então unidades batem.)

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula para a geração volumétrica:
\dot{q}''' = -k\frac{d^2T}{dx^2}.
Substituindo k=150\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K}) e \dfrac{d^2T}{dx^2}=-1000\\ \mathrm{^\circ C/m^2},
\dot{q}''' = -150\cdot(-1000)=150000\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^3.
Convertendo para \mathrm{kW}/\mathrm{m}^3:
\dot{q}'''=150{,}0\\ \mathrm{kW}/\mathrm{m}^3.
Isso corresponde à alternativa (D).

Passo 5

Agora calculamos o fluxo térmico no final da parede (no ponto x=L com L=0{,}08\\ \mathrm{m}). Pela Lei de Fourier:
q_x(x) = -k\frac{dT}{dx} = -k(2bx) = -2kbx.
Substituímos k=150\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K}), b=-500\\ \mathrm{^\circ C/m^2} e x=L=0{,}08\\ \mathrm{m}:
q_x(L) = -2\cdot150\cdot(-500)\cdot0{,}08.

Passo 6

Façamos as contas passo a passo:
2\cdot150\cdot500 = 150000,
com os sinais -2\cdot150\cdot(-500)=+150000. Multiplicando por 0{,}08\\ \mathrm{m}:
q_x(L)=150000\cdot0{,}08 = 12000\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Convertendo para \mathrm{kW}/\mathrm{m}^2:
q_x(L)=12{,}0\\ \mathrm{kW}/\mathrm{m}^2.
Isso corresponde à alternativa (B).

Resposta

4{.}1\ \ 150\\ \mathrm{kW}/\mathrm{m}^3 (D)\n
4{.}2\ \ 12\\ \mathrm{kW}/\mathrm{m}^2 (B)

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