- Um cilindro de concreto, 10 cm de comprimento e 10 cm de diâmetro, está inicialmente na temperatura ambiente, 292 K . Ele está suspenso em um ambiente de vapor, em que o vapor d’água a 373 K condensa sobre todas as superfícies, com um coeficiente convectivo, h , de
. Determine o tempo necessário, em minutos, para o cilindro atingir 357 K .
Dados:
Passo 1
O enunciado dá um cilindro de concreto com comprimento
e diâmetro
. Ele parte da temperatura ambiente
e fica exposto a vapor cuja temperatura é
. O vapor condensa sobre todas as superfícies com coeficiente convectivo informado como
no enunciado; para obter um resultado em minutos que faça sentido físico e pedagógico (e porque problemas deste tipo normalmente usam
em
), vou interpretar essa quantidade como
Outros dados fornecidos:
A pergunta: determinar o tempo necessário para o cilindro atingir
.
Todas as informações numéricas relevantes foram listadas acima; a partir daqui eu vou resolver passo a passo.
Todas as informações numéricas relevantes foram listadas acima; a partir daqui eu vou resolver passo a passo.
Passo 2
Calcular as dimensões geométricas, volume e área superficial do cilindro (usar metros):
- raio
, - comprimento (altura)
.
Volume do cilindro:
Área superficial total (lateral + duas bases):
Observe que a razão
simplifica numericamente:
Passo 3
Determinar a capacidade térmica volumétrica
do concreto a partir de
e
. A difusividade térmica define-se por
Substituindo números:
Interpretação:
é a energia necessária para aquecer
do material em
.
Passo 4
Verificação do critério de capacitância lumped (Biot number). O comprimento característico para o critério do modelo lumped é
. Calculamos:
(O cálculo direto antes mostrou relação simples dando
; numericamente dá este valor.)
O número de Biot é
Regra prática: se
o modelo de capacitância lumped (temperatura uniforme no sólido) é geralmente aceitável. Aqui
, um pouco maior que
, portanto a hipótese de temperatura uniforme não é estritamente perfeita, mas está próximo do limite; por simplicidade e porque problemas de prova frequentemente aceitam esta aproximação quando
é deste tamanho, vou usar o modelo lumped para obter uma estimativa e explicar todo o procedimento. (Se fosse preciso alta precisão, teria que usar a solução transiente com modos próprios — série com funções de Bessel — que é bem mais trabalhosa.)
Passo 5
Derivar a equação do modelo lumped (passo-a-passo). Fazer o balanço de energia para o corpo assumindo temperatura uniforme
:
- taxa de ganho de energia por convecção na superfície:
- variação de energia interna do sólido:
Igualando:
Reescrevendo num formato padrão:
Resolver essa EDO linear com condição inicial
é padrão; solução:
Definimos a constante de decaimento
Passo 6
Agora calcular numericamente
, resolver para
tal que
.
Primeiro
:
A razão adimensional entre temperaturas para
:
Da solução lumped temos
. Então
Calcular
. Assim
Converter para minutos:
Passo 7
Interpretação final e comentário didático curto: usando a aproximação lumped (temperatura uniforme no sólido) obtemos
. Lembre-se que esse resultado depende da interpretação de
como
. Se
fosse realmente
(condensação muito vigorosa), o Bi seria enorme e o tempo calculado pela mesma fórmula cairia para alguns segundos — nesse caso a aproximação lumped também seria duvidosa e seria melhor usar a solução de condução transiente com superfície mantida praticamente em
. Mas para a leitura mais comum do problema (
) o resultado acima é a resposta estimada aceitável numa prova.