[04] Seja
onde
. Mostre que
é uma transformação linear e determine uma base para
e para
.
Passo 1
O enunciado define
ou seja,
leva cada polinômio à sua derivada. O conteúdo aqui é Transformação Linear e espaços Núcleo e Imagem. Vamos primeiro mostrar que
é linear e depois achar bases de
e
.
Passo 2
Para checar linearidade precisamos ver que, para todo
e todo escalar
, valem
Logo,
preserva soma e produto por escalar, ou seja, é uma transformação linear.
Passo 3
Para encontrar
resolvemos
. Seja
Então
Impor
para todo
força
Logo
, polinômio constante. Assim
Passo 4
Para
observamos que, para qualquer
,
é um polinômio de grau
. Além disso, qualquer
em
é derivada de
portanto
. Como
vemos que
é gerado por
, que aliás é base de
.
Resposta
Base de
:
Base de :
Base de