[04] Seja D: \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) onde D(p)=p^{\prime}. Mostre que D é uma transformação linear e determine uma base para \operatorname{Ker}(D) e para \operatorname{Im}(D).

Passo 1

O enunciado define
D\colon \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \to \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}),\quad D(p)=p',
ou seja, D leva cada polinômio à sua derivada. O conteúdo aqui é Transformação Linear e espaços Núcleo e Imagem. Vamos primeiro mostrar que D é linear e depois achar bases de \operatorname{Ker}(D) e \operatorname{Im}(D).

Passo 2

Para checar linearidade precisamos ver que, para todo p,q\in \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) e todo escalar \alpha\in \mathbb{R}, valem
D(p+q)=(p+q)'=p'+q'=D(p)+D(q),
D(\alpha p)=(\alpha p)'=\alpha\,p'= \alpha\,D(p).
Logo, D preserva soma e produto por escalar, ou seja, é uma transformação linear.

Passo 3

Para encontrar \operatorname{Ker}(D) resolvemos D(p)=0. Seja
p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\in \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).
Então
D(p)=p'(x)=3a x^{2}+2b x+c.
Impor p'(x)=0 para todo x força
3a=0,\quad 2b=0,\quad c=0\quad\Longrightarrow\quad a=b=c=0.
Logo p(x)=d, polinômio constante. Assim
\operatorname{Ker}(D)=\{d\mid d\in\mathbb{R}\}=\Span\{1\}.

Passo 4

Para \operatorname{Im}(D) observamos que, para qualquer p\in \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}), p' é um polinômio de grau <=2. Além disso, qualquer q(x)=\alpha +\beta x+\gamma x^{2} em \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) é derivada de
\widetilde p(x)=\alpha x +\tfrac{\beta}{2}x^{2}+\tfrac{\gamma}{3}x^{3},
portanto \operatorname{Im}(D)=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}). Como
D(1)=0,\quad D(x)=1,\quad D(x^{2})=2x,\quad D(x^{3})=3x^{2},
vemos que \operatorname{Im}(D) é gerado por \{1,x,x^{2}\}, que aliás é base de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).

Resposta

Base de \operatorname{Ker}(D): \{1\}
Base de \operatorname{Im}(D): \{1,\,x,\,x^{2}\}

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