[06] Sejam
e
dois espaços vetoriais, onde:
e a soma + e produto por um escalar
são os usuais em
.
Determine se as funções:
(a)
, onde
,
(b)
, onde
,
são transformações lineares. Podemos dizer que
? Justifique sua resposta.
Determine se as funções:
(a)
(b)
são transformações lineares. Podemos dizer que
Passo 1
O enunciado define dois espaços vetoriais:
– , em que
–
–
com as operações usuais.
Pede-se para verificar se
(a) ,
, e
(b) ,
,
são transformações lineares entre esses espaços e, em caso afirmativo, concluir se . Para isso vamos usar o critério de linearidade:
Pede-se para verificar se
(a)
(b)
são transformações lineares entre esses espaços e, em caso afirmativo, concluir se
- Preservar soma (aqui soma em
vira soma usual em ou vice-versa). - Preservar produto por escalar.
Passo 2
Verificando linearidade de
na soma: para
,
Assim
preserva a operação
.
Passo 3
Verificando linearidade de
no produto por escalar: para
e
,
Logo
preserva o produto por escalar.
Passo 4
Como
preserva soma e produto por escalar,
é linear de
em
.
Passo 5
Verificando linearidade de
na soma: para
,
Aqui usamos que a “soma” em
é a multiplicação usual.
Passo 6
Verificando linearidade de
no produto por escalar: para
e
,
Assim
preserva produto por escalar.
Passo 7
Portanto
é linear de
em
.
Passo 8
Observamos que
e
. Ou seja,
e
são inversas uma da outra.
Resposta
As aplicações
e
são transformações lineares e inversas mútuas, logo definem um isomorfismo de espaços vetoriais. Portanto