[06] Sejam \left(\mathbb{R}^{+}, \oplus, \odot\right) e (\mathbb{R},+, \cdot) dois espaços vetoriais, onde:
u \oplus v=u v, \quad \lambda \odot u=u^{\lambda} \quad \forall u, v \in \mathbb{R}^{+}, \forall \lambda \in \mathbb{R}
e a soma + e produto por um escalar \cdot são os usuais em \mathbb{R}.
Determine se as funções:
(a) T: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}, onde T(x)=\ln (x),
(b) S: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+}, onde S(x)=e^{x},
são transformações lineares. Podemos dizer que \mathbb{R}^{+} \cong \mathbb{R} ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define dois espaços vetoriais:
V=(\mathbb{R}^+,\oplus,\odot), em que
u\oplus v = uv,\quad \lambda\odot u = u^\lambda,
W=(\mathbb{R},+,\cdot) com as operações usuais.
Pede-se para verificar se
(a) T\colon \mathbb{R}^+\to\mathbb{R}, T(x)=\ln(x), e
(b) S\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}^+, S(x)=e^x,
são transformações lineares entre esses espaços e, em caso afirmativo, concluir se \mathbb{R}^+\cong\mathbb{R}. Para isso vamos usar o critério de linearidade:
  1. Preservar soma (aqui soma em V vira soma usual em W ou vice-versa).
  2. Preservar produto por escalar.

Passo 2

Verificando linearidade de T na soma: para u,v\in\mathbb{R}^+,
T(u\oplus v)=T(uv)=\ln(uv)=\ln(u)+\ln(v)=T(u)+T(v).
Assim T preserva a operação \oplus.

Passo 3

Verificando linearidade de T no produto por escalar: para \lambda\in\mathbb{R} e u\in\mathbb{R}^+,
T(\lambda\odot u)=T\bigl(u^\lambda\bigr)=\ln\bigl(u^\lambda\bigr)=\lambda\ln(u)=\lambda\,T(u).
Logo T preserva o produto por escalar.

Passo 4

Como T preserva soma e produto por escalar, T é linear de (\mathbb{R}^+,\oplus,\odot) em (\mathbb{R},+,\cdot).

Passo 5

Verificando linearidade de S na soma: para x,y\in\mathbb{R},
S(x+y)=e^{\,x+y}=e^x e^y=S(x)\oplus S(y).
Aqui usamos que a “soma” em \mathbb{R}^+ é a multiplicação usual.

Passo 6

Verificando linearidade de S no produto por escalar: para \lambda\in\mathbb{R} e x\in\mathbb{R},
S(\lambda\cdot x)=e^{\,\lambda x}=\bigl(e^x\bigr)^{\!\lambda}=\lambda\odot S(x).
Assim S preserva produto por escalar.

Passo 7

Portanto S é linear de (\mathbb{R},+,\cdot) em (\mathbb{R}^+,\oplus,\odot).

Passo 8

Observamos que T\circ S(x)=\ln(e^x)=x e S\circ T(u)=e^{\ln(u)}=u. Ou seja, T e S são inversas uma da outra.

Resposta

As aplicações T e S são transformações lineares e inversas mútuas, logo definem um isomorfismo de espaços vetoriais. Portanto
\mathbb{R}^+ \cong \mathbb{R}.

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