[05]
Uma bola de naftalina evapora, de modo que o volume diminui com uma taxa proporcional à raiz cúbica do volume elevado ao quadrado. Sendo
a constante de proporcionalidade e
o volume inicial da bola.
(i) Determine o volume
ao longo do tempo;
(ii) Após quanto tempo a bola terá evaporado por completo?
(iii) Como problema de valor inicial, suponha
27 e
.
“As conviç̧ōes são inimigas mais perigosas da verdade do que as mentiras.” Friedrich Nietzsche
(i) Determine o volume
(ii) Após quanto tempo a bola terá evaporado por completo?
(iii) Como problema de valor inicial, suponha
“As conviç̧ōes são inimigas mais perigosas da verdade do que as mentiras.” Friedrich Nietzsche
Passo 1
O enunciado descreve uma bola cuja taxa de variação do volume
satisfaz
onde
é a constante de proporcionalidade e
é o volume inicial. O conteúdo principal é resolver uma equação diferencial separável.
Passo 2
Separamos variáveis:
Integrando ambos os lados,
Como
, temos
. Logo
Passo 3
Para encontrar o tempo
em que a bola some (
), basta anular o parêntese:
Passo 4
No problema de valor inicial com
e
, temos
e
Isolando
,
Resposta
(i)
(ii)
(iii) Com e
,
(ii)
(iii) Com