[05] (2,0) Uma bola de naftalina evapora, de modo que o volume diminui com uma taxa proporcional à raiz cúbica do volume elevado ao quadrado. Sendo k a constante de proporcionalidade e V0 o volume inicial da bola.
(i) Determine o volume V(t) ao longo do tempo;
(ii) Após quanto tempo a bola terá evaporado por completo?
(iii) Como problema de valor inicial, suponha V0= 27 e V(10)=20.
“As conviç̧ōes são inimigas mais perigosas da verdade do que as mentiras.” Friedrich Nietzsche

Passo 1

O enunciado descreve uma bola cuja taxa de variação do volume V satisfaz
dVdt = -k,l(raiz[3]V^2r),
onde k>0 é a constante de proporcionalidade e V(0)=V0 é o volume inicial. O conteúdo principal é resolver uma equação diferencial separável.

Passo 2

Separamos variáveis:
dVV^2/3 = -k,dt
Integrando ambos os lados,
integral V^-2/3dV = integral -k,dt Longrightarrow 3,V^1/3 = -k,t + C
Como V(0)=V0, temos C=3,V0^1/3. Logo
3,V^1/3 = -k,t + 3,V0^1/3 Longrightarrow V(t) = l(V0^1/3 - tfrack3,tr)^3

Passo 3

Para encontrar o tempo T em que a bola some ( V(T)=0), basta anular o parêntese:
V0^1/3 - tfrack3,T = 0 Longrightarrow T = 3,V0^1/3k

Passo 4

No problema de valor inicial com V0=27 e V(10)=20, temos V0^1/3=3 e
20 = l(3 - tfrack3cdot 10r)^3 Longrightarrow 3 - tfrac10,k3 = raiz[3]20
Isolando k,
tfrac10,k3 = 3 - 20^1/3 Longrightarrow k = 3l(3 - 20^1/3r)10

Resposta

(i) V(t) = l(V0^1/3 - tfrack3,tr)^3
(ii) T = 3,V0^1/3k
(iii) Com V0=27 e V(10)=20,
k = 3l(3 - raiz[3]20r)10

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