05 - Um conjunto de medidas feitas por dez diferentes instrumentos em três dias seguidos, onde as condições ambientais eram diferentes. indicou os seguintes valores de corrente em um circuito elétrico:
\begin{aligned} & \text { A: } 7,3-7,5-7,1-7,7-7,4-7,2-7,6-6,8-7,0-7,3 \\\ & \text { B: } 7,0-7,1-7,3-7,4-7,8-7,2-7,2-6,8-7,0-6,9 \\\ & \text { C: } 7,8-7,4-8,1-7,7-7,5-7,9-7,4-7,8-7,2-7,6 \end{aligned}
Para estes três conjuntos de medições calcule a medida da precisão e a medida da exatidão. Utilize a expressão de Desvio Padrão. Faça um comentário sobre estes indicadores calculados, indicando ao final, qual conjunto é mais exato e qual é o mais preciso. Obs.: o valor considerado verdadeiro é de 7,3.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais dados temos (peguei todos os números do enunciado). O enunciado dá três conjuntos de 10 medições cada, de corrente (em A):
  • Conjunto A: 7,3,\;7,5,\;7,1,\;7,7,\;7,4,\;7,2,\;7,6,\;6,8,\;7,0,\;7,3.
  • Conjunto B: 7,0,\;7,1,\;7,3,\;7,4,\;7,8,\;7,2,\;7,2,\;6,8,\;7,0,\;6,9.
  • Conjunto C: 7,8,\;7,4,\;8,1,\;7,7,\;7,5,\;7,9,\;7,4,\;7,8,\;7,2,\;7,6.
O enunciado pede:
  • Calcular a medida da precisão para cada conjunto (usar Desvio Padrão).
  • Calcular a medida da exatidão para cada conjunto (comparar com o valor verdadeiro).
    O valor considerado verdadeiro é 7,3.

Passo 2

Vou explicar as fórmulas que vou usar e o que cada símbolo significa.
  • A média aritmética (valor médio dos n resultados) é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde x_i são as medições e n é o número de medições ( n=10 aqui).
  • Para a precisão vamos usar o desvio padrão amostral (expressão usual em trabalhos experimentais), que mede a dispersão dos resultados em torno da média:
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}.
Aqui s é o desvio padrão amostral; usamos n-1 no denominador porque estamos estimando a variância da população a partir de uma amostra (correção de Bessel). Um s menor significa medições mais concentradas — isto é, mais precisas.
  • Para a exatidão vou usar o erro médio absoluto da média (bias), que mede o quanto a média experimental está deslocada em relação ao valor verdadeiro x_{\rm true}:
\text{bias}=\left|\bar{x}-x_{\rm true}\right|.
Um bias menor significa mais exato.
Agora aplico essas fórmulas em cada conjunto, passo a passo, mostrando contas.

Passo 3

Cálculos para o conjunto A.
  1. Média:
\sum_{i=1}^{10} x_i = 7,3+7,5+7,1+7,7+7,4+7,2+7,6+6,8+7,0+7,3 = 72,9,
\bar{x}_A=\frac{72,9}{10}=7,29.
  1. Somatório dos quadrados dos desvios (mostro os desvios e os quadrados de forma resumida):
\begin{aligned} &(7,3-7,29)^2=0,0001,\quad (7,5-7,29)^2=0,0441,\\\ &(7,1-7,29)^2=0,0361,\quad (7,7-7,29)^2=0,1681,\\\ &(7,4-7,29)^2=0,0121,\quad (7,2-7,29)^2=0,0081,\\\ &(7,6-7,29)^2=0,0961,\quad (6,8-7,29)^2=0,2401,\\\ &(7,0-7,29)^2=0,0841,\quad (7,3-7,29)^2=0,0001. \end{aligned}
Somando:
\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x}_A)^2 = 0,6890.
  1. Desvio padrão amostral:
s_A=\sqrt{\frac{0,6890}{10-1}}=\sqrt{\frac{0,6890}{9}}=\sqrt{0,076555\ldots}=0,277\quad(\text{aprox. }3\text{ casas}).
  1. Bias (exatidão) em relação a x_{\rm true}=7,3:
\text{bias}_A=\left|\bar{x}_A-7,3\right|=\left|7,29-7,3\right|=0,01.

Passo 4

Cálculos para o conjunto B.
  1. Média:
\sum_{i=1}^{10} x_i = 71,7,\qquad \bar{x}_B=\frac{71,7}{10}=7,17.
  1. Quadrados dos desvios (resumo):
\begin{aligned} &(7,0-7,17)^2=0,0289,\quad (7,1-7,17)^2=0,0049,\\\ &(7,3-7,17)^2=0,0169,\quad (7,4-7,17)^2=0,0529,\\\ &(7,8-7,17)^2=0,3969,\quad (7,2-7,17)^2=0,0009,\\\ &(7,2-7,17)^2=0,0009,\quad (6,8-7,17)^2=0,1369,\\\ &(7,0-7,17)^2=0,0289,\quad (6,9-7,17)^2=0,0729. \end{aligned}
Somando:
\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x}_B)^2 = 0,7410.
  1. Desvio padrão amostral:
s_B=\sqrt{\frac{0,7410}{9}}=\sqrt{0,082333\ldots}=0,287\quad(\text{aprox. }3\text{ casas}).
  1. Bias:
\text{bias}_B=\left|\bar{x}_B-7,3\right|=\left|7,17-7,3\right|=0,13.

Passo 5

Cálculos para o conjunto C.
  1. Média:
\sum_{i=1}^{10} x_i = 76,4,\qquad \bar{x}_C=\frac{76,4}{10}=7,64.
  1. Quadrados dos desvios (resumo):
\begin{aligned} &(7,8-7,64)^2=0,0256,\quad (7,4-7,64)^2=0,0576,\\\ &(8,1-7,64)^2=0,2116,\quad (7,7-7,64)^2=0,0036,\\\ &(7,5-7,64)^2=0,0196,\quad (7,9-7,64)^2=0,0676,\\\ &(7,4-7,64)^2=0,0576,\quad (7,8-7,64)^2=0,0256,\\\ &(7,2-7,64)^2=0,1936,\quad (7,6-7,64)^2=0,0016. \end{aligned}
Somando:
\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x}_C)^2 = 0,6640.
  1. Desvio padrão amostral:
s_C=\sqrt{\frac{0,6640}{9}}=\sqrt{0,073777\ldots}=0,272\quad(\text{aprox. }3\text{ casas}).
  1. Bias:
\text{bias}_C=\left|\bar{x}_C-7,3\right|=\left|7,64-7,3\right|=0,34.

Passo 6

Interpretação e comentário dos indicadores (sem pular etapas):
  • Precisão: comparando os desvios padrão s, quanto menor s mais precisas (menor dispersão interna).
    • s_A\approx0,277,\quad s_B\approx0,287,\quad s_C\approx0,272.
    • Ordem de precisão (da mais precisa para a menos precisa): C ( 0,272) ≈ A ( 0,277) < B ( 0,287). A diferença entre A e C é pequena, mas numericamente C tem o menor s.
  • Exatidão: comparando os biases (erro da média em relação ao valor verdadeiro 7,3), quanto menor o bias mais exato.
    • \text{bias}_A=0,01,\quad \text{bias}_B=0,13,\quad \text{bias}_C=0,34.
    • Ordem de exatidão (da mais exata para a menos exata): A (0,01) > B (0,13) > C (0,34). Ou seja, o conjunto A tem média praticamente igual ao valor verdadeiro; C está sistematicamente deslocado acima de 7,3.
Comentário final curto e motivador: A é a mais exata (média praticamente no valor verdadeiro), C é a mais precisa (menor dispersão). B tem tanto maior dispersão quanto um desvio moderado da verdade, sendo o pior entre os três em ambos os indicadores.

Resposta

A: precisão s_A=0,277; exatidão (bias) \text{bias}_A=0,01
B: precisão s_B=0,287; exatidão (bias) \text{bias}_B=0,13
C: precisão s_C=0,272; exatidão (bias) \text{bias}_C=0,34

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