Determine a diferença de fase em milissegundos entre as seguintes formas de onda:
\begin{gathered} v=25 \operatorname{sen}\left(\omega t+80^{\circ}\right) \\\ i=4 \operatorname{sen}\left(\omega t-10^{\circ}\right) \end{gathered}

Passo 1

O enunciado nos dá duas formas de onda senoidais e pede a diferença de fase entre elas expressa em milissegundos. Dados fornecidos:
  • A tensão: v = 25\operatorname{sen}\!\bigl(\omega t + 80^{\circ}\bigr).
  • A corrente: i = 4\operatorname{sen}\!\bigl(\omega t - 10^{\circ}\bigr).
O que é pedido: a diferença de fase entre v e i expressa em milissegundos. (Não foi fornecido um valor numérico para \omega nem para a frequência f, portanto a resposta deverá ficar em termos de \omega ou de f, salvo que se queira um exemplo numérico.)

Passo 2

Calcular a diferença de fase em termos de ângulo (graus).
  • A fase da tensão é +80^{\circ}.
  • A fase da corrente é -10^{\circ}.
A diferença de fase (fase de v menos fase de i) é
\Delta\varphi = 80^{\circ} - (-10^{\circ}) = 90^{\circ}.

Passo 3

Converter a diferença de fase para radianos (útil para fórmulas envolvendo \omega).
90^{\circ} = \frac{\pi}{2}\\ \text{rad}.
Também interpretamos o sinal: como \Delta\varphi>0, isso significa que v está adiantada em relação a i (ou seja, v “antecipa” i) por 90^{\circ}.

Passo 4

Relacionar diferença de fase angular com diferença de tempo. Para um sinal senoidal com velocidade angular \omega (em rad/s) vale a relação
\Delta t = \frac{\Delta\varphi}{\omega},
onde \Delta\varphi está em radianos e \Delta t em segundos. Explicando devagar: um círculo completo corresponde a 2\pi radianos e ao período T; assim um ângulo \Delta\varphi representa a fração \dfrac{\Delta\varphi}{2\pi} do período T. Como \omega=\dfrac{2\pi}{T}, obtém-se a fórmula acima.

Passo 5

Substituir \Delta\varphi=\dfrac{\pi}{2} na fórmula e apresentar também em termos de T e de f (frequência em Hz).
  • Em termos de \omega:
\Delta t = \frac{\pi/2}{\omega}.
  • Em termos do período T (onde T=\dfrac{2\pi}{\omega}):
\Delta t = \frac{1}{4}\,T.
  • Em termos de frequência f (onde T=\dfrac{1}{f}):
\Delta t = \frac{1}{4f}.

Passo 6

Converter a expressão para milissegundos. Multiplicando por 1000 (já que 1\\ \text{s}=1000\\ \text{ms}):
\Delta t_{\text{ms}} = \frac{\pi/2}{\omega}\cdot 1000\\ =\\ \frac{1000}{4f}\\ =\\ \frac{250}{f}\\ \text{ms}.
Assim a diferença de fase em milissegundos depende da frequência f. Se for preciso um valor numérico, basta substituir f por um número. Exemplos rápidos para ganhar confiança:
  • Se f=50\\ \text{Hz}, então \Delta t_{\text{ms}}=\dfrac{250}{50}=5{,}0\\ \text{ms}.
  • Se f=60\\ \text{Hz}, então \Delta t_{\text{ms}}=\dfrac{250}{60}\approx4{,}167\\ \text{ms}.
  • Se \omega=1000\\ \text{rad/s}, então \Delta t=\dfrac{\pi/2}{1000}\approx0{,}001571\\ \text{s}=1{,}571\\ \text{ms}.

Resposta

v está adiantada em 90^{\circ}=\dfrac{\pi}{2}\\ \text{rad} em relação a i.\n \displaystyle \Delta t_{\text{ms}}=\frac{\pi/2}{\omega}\cdot1000=\frac{250}{f}\\ \text{ms}.

Exercícios relacionados