Uma tensão senoidal é dada pela expressão v(t)=300 \cos \left(120 \pi t+30^{\circ}\right).
a) Qual é o período da tensão em milissegundos?
b) Qual é a frequência em hertz?
c) Qual é a magnitude de V em \mathrm{t}=2,778 \mathrm{~ms} ?
d) Qual é o valor eficaz de V?

Passo 1

O enunciado fornece a tensão senoidal
v(t)=300\cos\bigl(120\pi t+30^\circ\bigr).
O que nos pedem:
  • (a) o período da tensão em milissegundos;
  • (b) a frequência em hertz;
  • (c) o valor (magnitude) de V em \mathrm{t}=2,778\\ \mathrm{ms};
  • (d) o valor eficaz (RMS) de V.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Amplitude (valor de pico) é V_m=300 (unidades: volts).
  • A parte que multiplica t é a frequência angular \omega=120\pi (unidade: \mathrm{rad/s}).
  • A fase inicial é \phi_0=30^\circ.
  • O tempo pedido em (c) é \mathrm{t}=2,778\\ \mathrm{ms} (vou converter para segundos quando necessário).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando cada coisa):
  • Para uma senóide no formato \;v(t)=V_m\cos(\omega t+\phi_0)\;:
    • \;V_m\; é a amplitude (valor de pico).
    • \;\omega\; é a frequência angular em rad/s.
    • \;\phi_0\; é a fase inicial (aqui dada em graus).
  • Relações entre \omega, frequência f e período T: \omega=2\pi f,\qquad f=\frac{\omega}{2\pi},\qquad T=\frac{1}{f}=\frac{2\pi}{\omega}.Aqui \omega tem unidade rad/s, f em Hz (ciclos por segundo) e T em segundos.
  • Conversão de tempo: 1\\ \mathrm{ms}=10^{-3}\\ \mathrm{s}.
  • Para avaliar a função em um tempo específico, substituir t em segundos em \omega t+\phi_0. Para somar graus e radianos com cuidado: é conveniente converter toda fase para graus ou para radianos. Uma forma prática: \omega t em radianos pode ser convertido para graus multiplicando por 180/\pi.
  • Valor eficaz (RMS) de uma senóide pura (sem componente DC): V_{\mathrm{rms}}=\frac{V_m}{\sqrt{2}}.Isso vem da definição V_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac{1}{T}\int_0^T v^2(t)\,dt} aplicada a uma cosenoide.

Passo 3

Calcular o período T (parte a).
Usando \omega=120\pi:
T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{120\pi}=\frac{1}{60}\\ \mathrm{s}.
Converter para milissegundos:
T=\frac{1}{60}\\ \mathrm{s}=\frac{1000}{60}\\ \mathrm{ms}=\frac{50}{3}\\ \mathrm{ms}\approx16,666\ldots\\ \mathrm{ms}.
Portanto o período em milissegundos é \;16,666\ldots\\ \mathrm{ms} (pode arredondar para \;16,667\\ \mathrm{ms} se quiser).

Passo 4

Calcular a frequência f (parte b).
f=\frac{1}{T}=60\\ \mathrm{Hz}.
Também diretamente f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{120\pi}{2\pi}=60\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Avaliar v(t) em \mathrm{t}=2,778\\ \mathrm{ms} (parte c), passo a passo e bem didático.
  1. Converter o tempo para segundos:
t=2,778\\ \mathrm{ms}=2,778\times10^{-3}\\ \mathrm{s}=0,002778\\ \mathrm{s}.
  1. Encontrar a fase total em graus (forma prática):
  • Primeiro note que uma expressão conveniente é converter \omega t para graus:
\omega t\\ \text{(em rad)} \times\frac{180^\circ}{\pi} \;=\; (120\pi t)\frac{180^\circ}{\pi}=120\cdot180\,t=21600\,t\\ \text{graus}.
  • Substituindo t=0,002778:
\omega t\\ \text{(em graus)}=21600\cdot0,002778=60,0048^\circ.
  • Somando a fase inicial \phi_0=30^\circ:
\text{fase total}=60,0048^\circ+30^\circ=90,0048^\circ.
  1. Converter a fase para radianos para usar a função cosseno, ou raciocinar pelo deslocamento em relação a 90^\circ:
  • 90,0048^\circ=90^\circ+\;0,0048^\circ. Em radianos esse desvio é
\varepsilon =0,0048^\circ\cdot\frac{\pi}{180} \approx 8,3776\times10^{-5}\\ \mathrm{rad}.
  • Sabendo que \cos\bigl(90^\circ+\varepsilon\bigr)=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}+\varepsilon\bigr)=-\sin(\varepsilon) e para \varepsilon muito pequeno \sin(\varepsilon)\approx\varepsilon, obtemos
\cos(90,0048^\circ)\approx -\varepsilon\approx -8,3776\times10^{-5}.
  1. Multiplicar pela amplitude:
v(0,002778)=300\cos(90,0048^\circ)\approx 300\cdot\bigl(-8,3776\times10^{-5}\bigr)\approx -0,02513\\ \mathrm{V}.
Conclusão prática: o valor é aproximadamente -0,0251\\ \mathrm{V}, ou praticamente zero (isto é, muito próximo de zero), por causa do tempo escolhido estar muito próximo de um sexto do período que leva a fase total próxima de 90^\circ.

Passo 6

Calcular o valor eficaz V_{\mathrm{rms}} (parte d).
Usando a fórmula para uma senóide:
V_{\mathrm{rms}}=\frac{V_m}{\sqrt{2}}=\frac{300}{\sqrt{2}}\\ \mathrm{V}.
Numérico:
V_{\mathrm{rms}}\approx\frac{300}{1,41421356}\approx212,132\\ \mathrm{V}.

Resposta

T=16,666\ldots\\ \mathrm{ms} (ou \dfrac{50}{3}\\ \mathrm{ms}\approx16,667\\ \mathrm{ms})
f=60\\ \mathrm{Hz}
v(2,778\\ \mathrm{ms})\approx -0,0251\\ \mathrm{V}
V_{\mathrm{rms}}\approx212,132\\ \mathrm{V}

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