08 - Determine a entrada de energia para um motor necessária para levantar 300 lb a uma taxa constante de 5 \mathrm{ft} / \mathrm{s}. A eficiência do motor é \varepsilon=0,65
\begin{aligned} P=\mathbf{F} \cdot \mathbf{v}=300(5) & =1500 \mathrm{ft} \cdot \mathrm{lb} / \mathrm{s} \\\ \text { Potência de entrada } & =\frac{\text { Potência de saída }}{\epsilon} \\\ & =\frac{1500}{0.65}=2307.7 \mathrm{ft} \cdot \mathrm{lb} / \mathrm{s}=4.20 \mathrm{hp} \end{aligned}êêí

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede):
\;
\bullet Força-peso a ser vencida: \;300\\ \mathrm{lb}.
\bullet Velocidade de subida constante: \;5\\ \mathrm{ft/s}.
\bullet Eficiência do motor: \;\epsilon=0,65.
\bullet Pergunta: determinar a potência de entrada que o motor precisa fornecer (em \mathrm{ft\cdot lb/s} e em \mathrm{hp}).

Passo 2

Entendendo o que significa levantar a \;300\\ \mathrm{lb} a velocidade constante:
\;
Quando a velocidade é constante não há aceleração, então a resultante das forças é zero — isto significa que o motor precisa aplicar, para cima, uma força igual ao peso. Como o enunciado já deu a força como \;300\\ \mathrm{lb} (pound-force), usamos esse valor diretamente como a força que o motor fornece:
F = 300\\ \mathrm{lb}

Passo 3

Fórmula da potência mecânica e por que ela vale aqui:
\;
Potência instantânea transmitida por uma força é o produto escalar entre força e velocidade: \;P=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}.
Se força e velocidade têm a mesma direção (subida vertical, força para cima), o produto escalar reduz-se a um produto simples:
P = F\,v.
Aqui F é a força em \mathrm{lb} e v é a velocidade em \mathrm{ft/s}.

Passo 4

Cálculo da potência útil (potência de saída) entregue ao objeto:
\;
Aplicando \;F=300\\ \mathrm{lb} e \;v=5\\ \mathrm{ft/s}:
P_{\text{out}} = 300\cdot 5 = 1500\\ \mathrm{ft\cdot lb/s}.

Passo 5

Conversão da potência de saída para unidades de horsepower (verificação):
\;
Sabemos que \;1\\ \mathrm{hp}=550\\ \mathrm{ft\cdot lb/s}. Portanto a potência de saída em \mathrm{hp} é
P_{\text{out}}(\mathrm{hp})=\frac{1500}{550}= \;2,727272\ldots\\ \mathrm{hp}\approx 2,73\\ \mathrm{hp}.

Passo 6

Relação entre potência de entrada, potência de saída e eficiência; cálculo da potência de entrada:
\;
Definição de eficiência: \;\epsilon=\dfrac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}}. Isolando P_{\text{in}}:
P_{\text{in}}=\frac{P_{\text{out}}}{\epsilon}.
Substituindo \;P_{\text{out}}=1500\\ \mathrm{ft\cdot lb/s} e \;\epsilon=0,65:
P_{\text{in}}=\frac{1500}{0,65}=2307,692307\ldots\\ \mathrm{ft\cdot lb/s}\approx 2307,7\\ \mathrm{ft\cdot lb/s}.

Passo 7

Converter a potência de entrada para \mathrm{hp} e fazer um rápido cheque de consistência:
\;
Converter em \mathrm{hp} usando \;1\\ \mathrm{hp}=550\\ \mathrm{ft\cdot lb/s}:
P_{\text{in}}(\mathrm{hp})=\frac{2307,692307\ldots}{550}=4,196716\ldots\\ \mathrm{hp}\approx 4,20\\ \mathrm{hp}.
Cheque de consistência: como \epsilon<1, é correto que P_{\text{in}}>P_{\text{out}}. Aqui 2307,7>1500 e 4,20\\ \mathrm{hp}>2,73\\ \mathrm{hp}, faz sentido.

Resposta

P_{\text{in}}=2307,7\\ \mathrm{ft\cdot lb/s}
P_{\text{in}}=4,20\\ \mathrm{hp}

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