5.5-10 Uma pequena varanda feita de madeira (
) é suportada por três vigas idênticas em balanço. Cada viga tem comprimento
, largura
e altura
. As dimensões do piso da varanda são
. A carga de projeto atuante em toda a área do piso é de
, e leva em conta todos os carregamentos, exceto o peso das vigas em balanço, que apresentam peso específico
. Assumindo que a viga central suporta
da carga de projeto e que as outras vigas suportam, cada uma,
da mesma, determine as dimensões requeridas
e
.
Resolvido nos slides
Passo 1
O enunciado fornece:
Pergunta: determinar as dimensões
e
das vigas (retângulo
) considerando que a viga central suporta
da carga de projeto e cada viga lateral suporta
. A viga é em balanço (cantilever) de comprimento
e deve satisfazer
.
Passo 2
Vamos traduzir o problema para cargas e para a resistência à flexão de uma viga retangular. Conceitos usados e fórmulas:
- A carga de projeto total sobre o piso é
multiplicada pela área do piso . - Cada viga recebe uma fração dessa carga; para a viga central a carga vertical total será
. - Convertemos essa carga distribuída sobre a área em uma carga distribuída ao longo da viga (viga recebe uma carga linear uniforme
em kN/m) dividindo pela extensão em profundidade . - Peso próprio da viga (por unidade de comprimento):
. - Para uma viga em balanço com carga uniformemente distribuída
(kN/m), o momento máximo no apoio (fixo) é
- Tensão de flexão na borda da seção retangular: usar a fórmula clássica
, onde para retângulo e . Substituindo:
Isto significa: conhecendo
e as dimensões
obtemos a tensão de flexão.
Passo 3
Calcular a carga de projeto total e a parte que cabe à viga central:
Parte para a viga central:
Transformando em carga por unidade de comprimento sobre a viga (ao longo de
):
Peso próprio da viga por unidade de comprimento (em função de
):
pois
e
.
Carga total por unidade de comprimento na viga central:
Passo 4
Momento máximo no apoio (cantilever):
Tensão máxima usando
. Substituindo
e
:
Calcular o fator que não depende de
:
Então
Para projeto impomos
. (Lembrando que unidades:
em kN·m,
em m →
em kN/m^{2}=kPa; portanto usamos
.)
Passo 5
Montar a equação em função de
. Colocando valores conhecidos (
):
Isolando
:
Calculemos constantes numéricas:
Portanto a equação fica
ou numericamente
Multiplicando os termos:
Reescrevendo como equação polinomial:
Passo 6
Resolver numericamente a equação cúbica. Usamos procura intervalar e refinamento por tentativa (método simples e confiável em prova).
Testes:
- Para
: (negativo). - Para
: valor (positivo).
Logo raiz entre
e
. Refinando:
-
: valor (negativo). -
: valor (positivo).
Entre
e
. Mais refinamento:
-
: valor . -
: valor .
Interpolando linearmente entre
e
obtemos aproximadamente
(Arredondando para duas casas significativas práticas de projeto,
.)
Passo 7
Calcular
por
:
(Arredondando para projeto:
.)
Passo 8
Verificação rápida do atendimento ao esforço máximo (checar aproximação):
- Com
, :
compatível com
(diferenças pequenas devido a arredondamento).