5.5-10 Uma pequena varanda feita de madeira ( \sigma_{A d m}=15 \mathrm{MPa} ) é suportada por três vigas idênticas em balanço. Cada viga tem comprimento L_{1}=2,1 \mathrm{~m}, largura b e altura h=4 b / 3. As dimensões do piso da varanda são L_{1} \times L_{2}, \operatorname{com} L_{2}=2,5 \mathrm{~m}. A carga de projeto atuante em toda a área do piso é de 5,5 \mathrm{kPa}, e leva em conta todos os carregamentos, exceto o peso das vigas em balanço, que apresentam peso específico \gamma=5,5 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}. Assumindo que a viga central suporta 50 \% da carga de projeto e que as outras vigas suportam, cada uma, 25 \% da mesma, determine as dimensões requeridas b e h.
Resolvido nos slides

Passo 1

O enunciado fornece:
\sigma_{Adm}=15\\ \text{MPa},\quad L_{1}=2,1\\ \mathrm{m},\quad L_{2}=2,5\\ \mathrm{m},
q_{proj}=5,5\\ \mathrm{kPa},\quad \gamma=5,5\\ \mathrm{kN/m^{3}},\quad h=\frac{4}{3}b.
Pergunta: determinar as dimensões b e h das vigas (retângulo b\times h) considerando que a viga central suporta 50\% da carga de projeto e cada viga lateral suporta 25\%. A viga é em balanço (cantilever) de comprimento L_{1} e deve satisfazer \sigma_{f} \le \sigma_{Adm}.

Passo 2

Vamos traduzir o problema para cargas e para a resistência à flexão de uma viga retangular. Conceitos usados e fórmulas:
  • A carga de projeto total sobre o piso é q_{proj} multiplicada pela área do piso A=L_{1}L_{2}.
  • Cada viga recebe uma fração dessa carga; para a viga central a carga vertical total será 0{,}5\cdot q_{proj}A.
  • Convertemos essa carga distribuída sobre a área em uma carga distribuída ao longo da viga (viga recebe uma carga linear uniforme w em kN/m) dividindo pela extensão em profundidade L_{1}.
  • Peso próprio da viga (por unidade de comprimento): w_{self}=\gamma\cdot A_{sec}=\gamma b h.
  • Para uma viga em balanço com carga uniformemente distribuída w (kN/m), o momento máximo no apoio (fixo) é
M_{max}=\frac{wL_{1}^{2}}{2}.
  • Tensão de flexão na borda da seção retangular: usar a fórmula clássica \sigma=\dfrac{M c}{I}, onde para retângulo I=\dfrac{b h^{3}}{12} e c=\dfrac{h}{2}. Substituindo:
\sigma=\frac{6M}{b h^{2}}.
Isto significa: conhecendo M e as dimensões b,h obtemos a tensão de flexão.

Passo 3

Calcular a carga de projeto total e a parte que cabe à viga central:
A=L_{1}L_{2}=2{,}1\times 2{,}5=5{,}25\\ \mathrm{m^{2}}.
Q_{total}=q_{proj}A=5{,}5\\ \mathrm{kN/m^{2}}\times 5{,}25\\ \mathrm{m^{2}}=28{,}875\\ \mathrm{kN}.
Parte para a viga central:
Q_{cent}=0{,}5\cdot Q_{total}=0{,}5\times 28{,}875=14{,}4375\\ \mathrm{kN}.
Transformando em carga por unidade de comprimento sobre a viga (ao longo de L_{1}):
w_{floor}=\frac{Q_{cent}}{L_{1}}=\frac{14{,}4375}{2{,}1}=6{,}875\\ \mathrm{kN/m}.
Peso próprio da viga por unidade de comprimento (em função de b):
w_{self}=\gamma b h=\gamma b\left(\frac{4}{3}b\right)=\frac{22}{3}b^{2}\\ \mathrm{(kN/m)},
pois \gamma=5{,}5\\ \mathrm{kN/m^{3}} e 5{,}5\times\frac{4}{3}= \frac{22}{3}.
Carga total por unidade de comprimento na viga central:
w_{tot}=w_{floor}+w_{self}=6{,}875+\frac{22}{3}b^{2}.

Passo 4

Momento máximo no apoio (cantilever):
M_{max}=\frac{w_{tot}L_{1}^{2}}{2}=\frac{\left(6{,}875+\frac{22}{3}b^{2}\right)L_{1}^{2}}{2}.
Tensão máxima usando \sigma=\dfrac{6M}{b h^{2}}. Substituindo h=\dfrac{4}{3}b e M=M_{max}:
\sigma=\frac{6M_{max}}{b h^{2}} =\frac{6}{b\left(\frac{4}{3}b\right)^{2}}\cdot \frac{\left(6{,}875+\frac{22}{3}b^{2}\right)L_{1}^{2}}{2}.
Calcular o fator que não depende de b:
\left(\frac{6}{b\left(\frac{16}{9}b^{2}\right)}\right)\cdot\frac{L_{1}^{2}}{2} =\left(\frac{6\cdot 9}{16}\right)\cdot\frac{1}{b^{3}}\cdot\frac{L_{1}^{2}}{2} =\frac{27}{16}\cdot\frac{L_{1}^{2}}{b^{3}}.
Então
\sigma=\frac{27 L_{1}^{2}}{16}\cdot\frac{6{,}875+\frac{22}{3}b^{2}}{b^{3}}.
Para projeto impomos \sigma=\sigma_{Adm}=15\\ \text{MPa}=15\,000\\ \mathrm{kPa}. (Lembrando que unidades: M em kN·m, b,h em m → \sigma em kN/m^{2}=kPa; portanto usamos \sigma_{Adm}=15{,}000\\ \mathrm{kPa}.)

Passo 5

Montar a equação em função de b. Colocando valores conhecidos ( L_{1}^{2}=2{,}1^{2}=4{,}41):
15{,}000=\frac{27\cdot 4{,}41}{16}\cdot\frac{6{,}875+\frac{22}{3}b^{2}}{b^{3}}.
Isolando b^{3}:
b^{3}=\frac{27\cdot 4{,}41}{16\cdot 15{,}000}\left(6{,}875+\frac{22}{3}b^{2}\right).
Calculemos constantes numéricas:
A=\frac{27\cdot 4{,}41}{16\cdot 15{,}000}\approx 0{,}000496125.
Portanto a equação fica
b^{3}=A\left(6{,}875+\frac{22}{3}b^{2}\right)
ou numericamente
b^{3}=0{,}000496125\left(6{,}875+7{,}333333\,b^{2}\right).
Multiplicando os termos:
b^{3}=0{,}00341161+0{,}00363825\,b^{2}.
Reescrevendo como equação polinomial:
b^{3}-0{,}00363825\,b^{2}-0{,}00341161=0.

Passo 6

Resolver numericamente a equação cúbica. Usamos procura intervalar e refinamento por tentativa (método simples e confiável em prova).
Testes:
  • Para b=0{,}10\\ \mathrm{m}: b^{3}-0{,}00363825b^{2}-0{,}00341161\approx -0{,}002448 (negativo).
  • Para b=0{,}20\\ \mathrm{m}: valor \approx +0{,}004443 (positivo).
Logo raiz entre 0{,}10 e 0{,}20. Refinando:
  • b=0{,}15: valor \approx -0{,}000118 (negativo).
  • b=0{,}16: valor \approx +0{,}000591 (positivo).
Entre 0{,}15 e 0{,}16. Mais refinamento:
  • b=0{,}152: valor \approx +0{,}0000159.
  • b=0{,}1515: valor \approx -0{,}0000191.
Interpolando linearmente entre 0{,}1515 e 0{,}152 obtemos aproximadamente
b\approx 0{,}1518\\ \mathrm{m}.
(Arredondando para duas casas significativas práticas de projeto, b\approx 0{,}152\\ \mathrm{m}.)

Passo 7

Calcular h por h=\dfrac{4}{3}b:
h=\frac{4}{3}\times 0{,}1518\approx 0{,}2024\\ \mathrm{m}.
(Arredondando para projeto: h\approx 0{,}202\\ \mathrm{m}.)

Passo 8

Verificação rápida do atendimento ao esforço máximo (checar aproximação):
  • Com b=0{,}1518\\ \mathrm{m}, h=0{,}2024\\ \mathrm{m}:
b h^{2}\approx 0{,}1518\times (0{,}2024)^{2}\approx 0{,}00621\\ \mathrm{m^{3}},
w_{self}=\frac{22}{3}b^{2}\approx 7{,}3333\times(0{,}1518)^{2}\approx 0{,}169\\ \mathrm{kN/m},
w_{tot}=6{,}875+0{,}169\approx 7{,}044\\ \mathrm{kN/m},
M_{max}=\frac{w_{tot}L_{1}^{2}}{2}\approx \frac{7{,}044\times 4{,}41}{2}\approx 15{,}54\\ \mathrm{kN\cdot m},
\sigma=\frac{6M_{max}}{b h^{2}}\approx \frac{6\times 15{,}54}{0{,}00621}\approx 15{,}0\\ \text{MPa},
compatível com \sigma_{Adm}=15\\ \text{MPa} (diferenças pequenas devido a arredondamento).

Resposta

b=0{,}152\\ \mathrm{m}
h=0{,}202\\ \mathrm{m}

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