08 A prata apresenta um reticulado cúbico de face centrada e seu raio atômico corresponde a 1,444 \AA (Angstrom). Qual o comprimento de aresta da célula unitária? Considere 1 \AA=0,1 \mathrm{~nm}.

Passo 1

O enunciado diz que a prata tem reticulado cúbico de face centrada (cúbica de face centrada) e que o raio atômico é r=1,444\\ \text{\AA}. Pede-se o comprimento de aresta da célula unitária, que chamaremos de a. Foi dada também a conversão 1\\ \text{\AA}=0,1\\ \mathrm{nm}.
Informações importantes extraídas do enunciado:
r = 1,444\\ \text{\AA},\qquad 1\\ \text{\AA}=0,1\\ \mathrm{nm}.
O que devemos encontrar: o valor de a (em \text{\AA} e/ou em \mathrm{nm}).

Passo 2

Agora vou explicar a relação geométrica entre o raio atômico r e o comprimento de aresta a para uma estrutura cúbica de face centrada (FCC).
Em uma célula unitária FCC, os átomos se tocam ao longo da diagonal da face. A diagonal de uma face tem comprimento \sqrt{2}\,a. Ao percorrer essa diagonal, encontramos, na ordem, um átomo de canto — átomo de face — átomo de canto. Cada contato entre centros consecutivos corresponde a dois raios atômicos ( 2r). Portanto a diagonal da face contém quatro raios atômicos no total.
Assim obtemos a igualdade:
\sqrt{2}\,a = 4r.
Isolando a:
a = \frac{4r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\,r.
Aqui:
  • r é o raio atômico (distância do centro do átomo à sua “superfície” considerada),
  • a é o comprimento da aresta da célula unitária.

Passo 3

Agora substituímos o valor numérico de r na fórmula obtida.
Primeiro escrevemos a fórmula com o número:
a = 2\sqrt{2}\cdot 1,444\\ \text{\AA}.
Usamos \sqrt{2}\approx 1,41421356, então
2\sqrt{2}\approx 2{,}82842712.
Multiplicando:
a \approx 2{,}82842712 \times 1{,}444 \\ \text{\AA}.
Fazendo a multiplicação (mostrando o resultado aproximado):
a \approx 4{,}08425\\ \text{\AA}.
Arredondando de forma razoável (mantendo quatro algarismos significativos, compatível com r):
a \approx 4{,}084\\ \text{\AA}.

Passo 4

Converter para \mathrm{nm} usando 1\\ \text{\AA}=0,1\\ \mathrm{nm}.
a = 4{,}08425\\ \text{\AA} \times 0{,}1\\ \frac{\mathrm{nm}}{\text{\AA}} \approx 0{,}408425\\ \mathrm{nm}.
Arredondando como antes:
a \approx 0{,}4084\\ \mathrm{nm}.

Passo 5

Resumo final obtido: o comprimento de aresta da célula unitária da prata, a partir do raio atômico dado, é aproximadamente 4{,}084\\ \text{\AA}, o que corresponde a 0{,}4084\\ \mathrm{nm}. Força aí — esse tipo de conta é bem comum em provas e com essa fórmula a=2\sqrt{2}\,r você resolve rápido na hora!

Resposta

a = 4{,}084\\ \text{\AA}
a = 0{,}4084\\ \mathrm{nm}

Exercícios relacionados