08 A prata apresenta um reticulado cúbico de face centrada e seu raio atômico corresponde a
(Angstrom). Qual o comprimento de aresta da célula unitária? Considere
.
Passo 1
O enunciado diz que a prata tem reticulado cúbico de face centrada (cúbica de face centrada) e que o raio atômico é
. Pede-se o comprimento de aresta da célula unitária, que chamaremos de
. Foi dada também a conversão
.
Informações importantes extraídas do enunciado:
O que devemos encontrar: o valor de
(em
e/ou em
).
Passo 2
Agora vou explicar a relação geométrica entre o raio atômico
e o comprimento de aresta
para uma estrutura cúbica de face centrada (FCC).
Em uma célula unitária FCC, os átomos se tocam ao longo da diagonal da face. A diagonal de uma face tem comprimento
. Ao percorrer essa diagonal, encontramos, na ordem, um átomo de canto — átomo de face — átomo de canto. Cada contato entre centros consecutivos corresponde a dois raios atômicos (
). Portanto a diagonal da face contém quatro raios atômicos no total.
Assim obtemos a igualdade:
Isolando
:
Aqui:
-
é o raio atômico (distância do centro do átomo à sua “superfície” considerada), -
é o comprimento da aresta da célula unitária.
Passo 3
Agora substituímos o valor numérico de
na fórmula obtida.
Primeiro escrevemos a fórmula com o número:
Usamos
, então
Multiplicando:
Fazendo a multiplicação (mostrando o resultado aproximado):
Arredondando de forma razoável (mantendo quatro algarismos significativos, compatível com
):
Passo 4
Converter para
usando
.
Arredondando como antes:
Passo 5
Resumo final obtido: o comprimento de aresta da célula unitária da prata, a partir do raio atômico dado, é aproximadamente
, o que corresponde a
. Força aí — esse tipo de conta é bem comum em provas e com essa fórmula
você resolve rápido na hora!