02 (PETROBRAS/2012) Para atender às exigências de um projeto, um componente mecânico cilíndrico deverá apresentar uma deformação elástica máxima de 0,3 \% quando submetido a uma tensão de tração de 240 MPa . A tabela abaixo indica alguns materiais selecionados para a fabricação do componente.
material \mathrm{E}(\mathrm{GPa})
aço 210
cobre 110
aluminio 70
magnésio 45
Qual(is), dentre os materiais listados, atende(m) às exigências desse projeto?
(A) Aço e cobre
(B) Alumínio e cobre
(C) Magnésio
(D) Alumínio e magnésio
(E) Aço e magnésio

Passo 1

O enunciado pede que escolhamos, entre os materiais da tabela, aqueles que ao serem submetidos a uma tensão de tração de 240\\ \mathrm{MPa} apresentem uma deformação elástica máxima de 0,3\% (ou seja, no máximo 0,3\%). Informações fornecidas:
\begin{array}{c|c} \text{material} & E\\ (\mathrm{GPa})\\hline \text{aço} & 210\\\ \text{cobre} & 110\\\ \text{alumínio} & 70\\\ \text{magnésio} & 45 \end{array}çíé
Pergunta: quais materiais da lista atendem à exigência de deformação elástica máxima de 0,3\% quando submetidos à tensão de 240\\ \mathrm{MPa}?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida): em regime elástico linear (pequenas deformações) tensão \sigma, deformação \epsilon e módulo de Young E estão relacionados pela lei de Hooke:
\sigma = E\,\epsilon.
Aqui:
  • \sigma é a tensão aplicada (unidade típica: \mathrm{MPa} ou \mathrm{GPa}),
  • \epsilon é a deformação (grandeza adimensional; 0,3\% significa 0,003),
  • E é o módulo de Young (rigidez do material, unidade: \mathrm{GPa} neste caso).
    Para que a deformação seja no máximo \epsilon_{\max}, precisamos que a relação inversa dê E \ge \sigma/\epsilon_{\max}. Ou seja:
E_{\text{mín}} = \frac{\sigma}{\epsilon_{\max}}.í

Passo 3

Vamos colocar os dados nas mesmas unidades. O enunciado dá \sigma = 240\\ \mathrm{MPa} e \epsilon_{\max}=0,3\% = 0,003. Converto \sigma para \mathrm{GPa} para comparar com a tabela:
240\\ \mathrm{MPa} = 0,24\\ \mathrm{GPa}.
Agora calculo o módulo mínimo exigido:
E_{\text{mín}} = \frac{0,24\\ \mathrm{GPa}}{0,003}.í

Passo 4

Faço a divisão passo a passo (sem calculadora, visão prática): dividir por 0,003 é o mesmo que multiplicar por \dfrac{1}{0,003}. Note que 0,003 = 3\times 10^{-3}, então \dfrac{1}{0,003}=\dfrac{1}{3\times 10^{-3}}=\dfrac{1000}{3}\approx 333{,}333. Assim
E_{\text{mín}} = 0,24 \times \frac{1000}{3}\\ \mathrm{GPa} = \frac{240}{3}\\ \mathrm{GPa} = 80\\ \mathrm{GPa}.í
(ou diretamente 0,24/0,003=80).

Passo 5

Interpretação didática: qualquer material com E\ge 80\\ \mathrm{GPa} vai produzir deformação \epsilon=\sigma/E \le 0,003 sob \sigma=240\\ \mathrm{MPa}. Agora comparo com os valores da tabela:
\begin{aligned} E_{\text{aço}} &= 210\\ \mathrm{GPa} &\Rightarrow&\\\ 210\ge 80\\ \Rightarrow\\ \text{atende},\\\ E_{\text{cobre}} &= 110\\ \mathrm{GPa} &\Rightarrow&\\\ 110\ge 80\\ \Rightarrow\\ \text{atende},\\\ E_{\text{alumínio}} &= 70\\ \mathrm{GPa} &\Rightarrow&\\\ 70<80\\ \Rightarrow\\ \text{não atende},\\\ E_{\text{magnésio}} &= 45\\ \mathrm{GPa} &\Rightarrow&\\\ 45<80\\ \Rightarrow\\ \text{não atende}. \end{aligned}çíãéã

Passo 6

Conclusão: os materiais da lista que atendem à exigência de deformação elástica máxima de 0,3\% sob tensão de 240\\ \mathrm{MPa} são o aço e o cobre. Força final de incentivo: você já tirou a conta-chave — é só comparar E com 80\\ \mathrm{GPa}. Vai dar tudo certo na prova!

Resposta

(A) Aço e cobre

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