09 - Responda as questões propostas:
A - O que é uma Aleta? Para que serve?
B - Obtenha a equação geral da Aleta a partir de um balanço de energia.

Passo 1

O enunciado pede dois itens:
A – definir o que é uma aleta e para que serve;
B – obter a equação geral da aleta a partir de um balanço de energia.
O conteúdo é superfícies estendidas em transferência de calor, e usaremos a lei de Fourier para condução e a lei de Newton para convecção.

Passo 2

Uma aleta é uma superfície estendida, geralmente um corpo delgado de material de alta condutividade térmica, presa a uma superfície quente ou fria para aumentar a área disponível para troca de calor. Serve para intensificar o fluxo térmico entre a base (de onde sai ou para onde entra calor) e o fluido ambiente, melhorando a eficiência da transferência térmica.

Passo 3

Para derivar a equação, considere um elemento infinitesimal de aleta de comprimento \mathrm{d}x situado a uma distância x da base. No equilíbrio estacionário, o fluxo de calor que entra por condução em x, menos o fluxo que sai em x+\mathrm{d}x, menos o calor perdido por convecção na face lateral, deve ser zero:
\dot Q_x - \dot Q_{x+\mathrm{d}x} - h\,P\,\mathrm{d}x\,(T - T_\infty) = 0.

Passo 4

Usando a lei de Fourier em uma seção de área de condução A_c:
\dot Q_x = -\,k\,A_c\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}, \quad \dot Q_{x+\mathrm{d}x} = -\,k\,A_c\left.\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\right|_{x+\mathrm{d}x}.
Substituindo no balanço e dividindo por \mathrm{d}x, ao \mathrm{d}x\to0, obtém-se
-\,k\,A_c\,\frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}x^2} - h\,P\,(T - T_\infty) = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}x^2} - \frac{h\,P}{k\,A_c}\,(T - T_\infty) = 0.

Passo 5

Definindo a temperatura excessão \theta(x)=T(x)-T_\infty e o parâmetro
m^2 = \frac{h\,P}{k\,A_c},
a equação geral da aleta fica
\frac{\mathrm{d}^2 \theta}{\mathrm{d}x^2} - m^2\,\theta = 0.

Resposta

A – Uma aleta é uma superfície estendida de material condutor, fixada à base para aumentar a área de troca de calor com o fluido ambiente, melhorando a transferência térmica.
B – A equação geral da aleta, obtida por balanço de energia, é
\frac{\mathrm{d}^2 \theta}{\mathrm{d}x^2} - m^2\,\theta = 0, \quad \theta(x)=T(x)-T_\infty, \quad m^2=\frac{h\,P}{k\,A_c}.

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