03 - Explique o que é “raio crítico de isolamento”. Mostre como se calcula, tanto para cilindros quanto para esferas. Existe uma “espessura crítica de isolamento” para paredes planas? Porquê?

Passo 1

O enunciado pede para explicar o que é o raio crítico de isolamento, mostrar como calculá-lo para corpos cilíndricos e esféricos, e discutir se existe algo análogo (ou seja, uma espessura crítica de isolamento) em uma parede plana. O conteúdo principal envolve transferência de calor por condução no isolamento e convecção na superfície externa, e uma otimização da resistência térmica total.

Passo 2

Para um cilindro com raio interno r_{1} e raio externo de isolamento r_{2}, comprimento L, condutividade térmica do isolante k e coeficiente de convecção externa h, temos:
R_{\text{cond}} \;=\;\frac{\ln\bigl(r_{2}/r_{1}\bigr)}{2\pi\,k\,L},
R_{\text{conv}} \;=\;\frac{1}{h\,2\pi\,r_{2}\,L}.
A resistência total é
R_{\text{tot}} \;=\;R_{\text{cond}} + R_{\text{conv}},
e a taxa de calor é
\dot Q \;=\;\frac{T_{i}-T_{\infty}}{R_{\text{tot}}}.
Para achar o raio crítico r_{2} que minimiza R_{\text{tot}} (ou maximiza \dot Q), derivamos R_{\text{tot}} em relação a r_{2} e igualamos a zero.

Passo 3

Calculando \dfrac{dR_{\text{tot}}}{dr_{2}}=0:
R_{\text{tot}} =\frac{\ln(r_{2}/r_{1})}{2\pi kL}+\frac{1}{h\,2\pi r_{2}L},
\frac{dR_{\text{tot}}}{dr_{2}} =\frac{1}{2\pi kL}\,\frac{1}{r_{2}} -\frac{1}{h\,2\pi L}\,\frac{1}{r_{2}^{2}} \;=\;0.
Multiplicando por 2\pi L e rearranjando:
\frac{1}{k\,r_{2}}=\frac{1}{h\,r_{2}^{2}} \quad\Longrightarrow\quad r_{2}=\frac{k}{h}.
Logo, o raio crítico de isolamento cilíndrico é
\boxed{r_{\mathrm{cr,cil}}=\frac{k}{h}}.

Passo 4

Para uma esfera de raio interno r_{1} e externo r_{2}:
R_{\text{cond}} =\frac{1}{4\pi k}\Bigl(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\Bigr), \quad R_{\text{conv}} =\frac{1}{h\,4\pi\,r_{2}^{2}}.
Somando e derivando:
\frac{dR_{\text{tot}}}{dr_{2}} =\frac{1}{4\pi k}\,\frac{1}{r_{2}^{2}} -\frac{1}{h\,4\pi}\,\frac{2}{r_{2}^{3}} \;=\;0 \;\Longrightarrow\; \frac{1}{k\,r_{2}^{2}}=\frac{2}{h\,r_{2}^{3}} \;\Longrightarrow\; r_{2}=\frac{2k}{h}.
Assim, o raio crítico de isolamento esférico é
\boxed{r_{\mathrm{cr,esf}}=\frac{2\,k}{h}}.

Passo 5

Em uma parede plana de área A, espessura de isolamento L, condutividade k e convecção externa h,
R_{\text{cond}}=\frac{L}{k\,A}, \quad R_{\text{conv}}=\frac{1}{h\,A},
R_{\text{tot}}=\frac{L}{k\,A}+\frac{1}{h\,A}.
Aqui a área de troca A é constante e
\frac{dR_{\text{tot}}}{dL} =\frac{1}{k\,A}>0\quad\forall\,L.
Não há ponto de mínimo em R_{\text{tot}}(L), pois a resistência cresce sempre que L aumenta. Portanto não existe espessura crítica de isolamento em parede plana: quanto mais isolamento, menor o fluxo, de forma monotônica.

Resposta

Raio crítico de isolamento cilíndrico:
r_{\mathrm{cr,cil}}=\frac{k}{h}.
Raio crítico de isolamento esférico:
r_{\mathrm{cr,esf}}=\frac{2\,k}{h}.
Para paredes planas não existe espessura crítica, pois a área de troca não varia com L e a resistência total aumenta monotonamente com a espessura.

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