03 - Explique o que é “raio crítico de isolamento”. Mostre como se calcula, tanto para cilindros quanto para esferas. Existe uma “espessura crítica de isolamento” para paredes planas? Porquê?
Passo 1
O enunciado pede para explicar o que é o raio crítico de isolamento, mostrar como calculá-lo para corpos cilíndricos e esféricos, e discutir se existe algo análogo (ou seja, uma espessura crítica de isolamento) em uma parede plana. O conteúdo principal envolve transferência de calor por condução no isolamento e convecção na superfície externa, e uma otimização da resistência térmica total.
Passo 2
Para um cilindro com raio interno
e raio externo de isolamento
, comprimento
, condutividade térmica do isolante
e coeficiente de convecção externa
, temos:
A resistência total é
e a taxa de calor é
Para achar o raio crítico
que minimiza
(ou maximiza
), derivamos
em relação a
e igualamos a zero.
Passo 3
Calculando
:
Multiplicando por
e rearranjando:
Logo, o raio crítico de isolamento cilíndrico é
Passo 4
Para uma esfera de raio interno
e externo
:
Somando e derivando:
Assim, o raio crítico de isolamento esférico é
Passo 5
Em uma parede plana de área
, espessura de isolamento
, condutividade
e convecção externa
,
Aqui a área de troca
é constante e
Não há ponto de mínimo em
, pois a resistência cresce sempre que
aumenta. Portanto não existe espessura crítica de isolamento em parede plana: quanto mais isolamento, menor o fluxo, de forma monotônica.
Resposta
Raio crítico de isolamento cilíndrico:
Raio crítico de isolamento esférico:
Para paredes planas não existe espessura crítica, pois a área de troca não varia com
e a resistência total aumenta monotonamente com a espessura.