[1.0] Conservação do Momento Linear: um fóton viajando no espaço vazio tem momento linear inicial de valor p_{1}=h / \lambda_{1}, com \lambda_{1} sendo seu comprimento de onda inicial. Em um dado instante ele choca-se com um pequeno estilhaço de vidro parado flutuando desprendido de um caça espacial Jedi destruido em combate por um caça Tie do império. O impácto do fóton é completamente perpendicular à normal do plano do vidro. Depois do choque o fóton é refletido (com velocidade c - pois esta nāo muda) com um comprimento de onda \lambda_{2} maior que o comprimento de onda inicial, enquanto o pedaço de espelho adquire um momento linear dado por P=m_{0} v na direção oposta do fóton refletido. Determine o comprimento de onda \lambda_{2} do fóton em termos de h, m_{0}, \lambda_{1} e v.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só.
  • Dados fornecidos:
    • Um fóton inicialmente viaja com comprimento de onda \lambda_{1} e momento linear de magnitude \dfrac{h}{\lambda_{1}}.
    • Um pedaço de vidro (espelho) de massa m_{0} estava inicialmente em repouso.
    • Após o choque, o fóton é refletido e passa a ter comprimento de onda \lambda_{2} (maior que \lambda_{1}).
    • O pedaço de vidro adquire momento linear \,P = m_{0} v, na direção oposta ao fóton refletido.
  • O que o problema pede:
    • Determinar \lambda_{2} em termos de h, m_{0}, \lambda_{1} e v.

Passo 2

Vamos lembrar da relação de momento para um fóton e fixar um sistema de sinais (isso é crucial para fazer a conta direitinho).
  • Conceito: o momento linear (vetorial) de um fóton tem magnitude p=\frac{h}{\lambda},onde h é a constante de Planck e \lambda é o comprimento de onda. O sinal do momento depende da direção do movimento (ou seja, é vetorial).
  • Escolha de eixo: tomo o eixo x tal que o fóton incidente se move no sentido positivo ( +x). Portanto o momento inicial do fóton é \frac{h}{\lambda_{1}} \quad\text{(em \(+x\)).}
  • O espelho estava inicialmente em repouso, então seu momento inicial é 0.

Passo 3

Agora escrevo os momentos depois do choque, cuidando do sinal (direção).
  • O fóton refletido vai no sentido oposto (no sentido -x), logo o momento do fóton após o choque é p_{2}=-\frac{h}{\lambda_{2}}.(o sinal negativo indica que aponta para -x.)
  • O enunciado diz que o pedaço de vidro adquire momento P=m_{0}v na direção oposta ao fóton refletido. Como o fóton refletido está em -x, o pedaço vai em +x. Então o momento do pedaço é +m_{0}v.

Passo 4

Aplicamos a lei da conservação do momento linear (válida para colisões isoladas): o momento total antes = momento total depois.
  • Escrevendo isso em x: \frac{h}{\lambda_{1}} = -\frac{h}{\lambda_{2}} + m_{0}v.Expliquei antes: termo da esquerda é o fóton inicial; à direita estão o fóton refletido (negativo) e o pedaço (positivo).

Passo 5

Agora resolvemos a equação acima para \lambda_{2}, passo a passo.
  • Reescrevendo: -\frac{h}{\lambda_{2}} = \frac{h}{\lambda_{1}} - m_{0}v.
  • Multiplico por -1: \frac{h}{\lambda_{2}} = m_{0}v - \frac{h}{\lambda_{1}}.
  • Isolo \lambda_{2} invertendo: \lambda_{2}=\frac{h}{\,m_{0}v - \dfrac{h}{\lambda_{1}}\,}.
  • Opcionalmente escrevo numa forma sem fração dentro da fração (às vezes é mais prática): \lambda_{2}=\frac{h\lambda_{1}}{m_{0}v\lambda_{1}-h}.

Passo 6

Comentários físicos e verificação rápida (útil na prova para checar consistência).
  • Unidade: no numerador temos h\lambda_{1} (unidade de ação × comprimento) e no denominador m_{0}v\lambda_{1} tem unidade de momento × comprimento = ação, logo dimensões batem.
  • Sinal/positividade: para \lambda_{2} positiva precisamos de m_{0}v>h/\lambda_{1} (ou seja, o momento do pedaço deve ser maior que o momento inicial do fóton), o que faz sentido porque o fóton inverteu sentido e perdeu ainda mais momento; isso também garante que \lambda_{2}>\lambda_{1} conforme o enunciado.

Resposta

\lambda_{2}=\frac{h}{\,m_{0}v-\dfrac{h}{\lambda_{1}}\,}=\frac{h\lambda_{1}}{m_{0}v\lambda_{1}-h}.

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