[1.0] Conservação do Momento Linear: um fóton viajando no espaço vazio tem momento linear inicial de valor
, com
sendo seu comprimento de onda inicial. Em um dado instante ele choca-se com um pequeno estilhaço de vidro parado flutuando desprendido de um caça espacial Jedi destruido em combate por um caça Tie do império. O impácto do fóton é completamente perpendicular à normal do plano do vidro. Depois do choque o fóton é refletido (com velocidade c - pois esta nāo muda) com um comprimento de onda
maior que o comprimento de onda inicial, enquanto o pedaço de espelho adquire um momento linear dado por
na direção oposta do fóton refletido. Determine o comprimento de onda
do fóton em termos de
,
e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só.
- Dados fornecidos:
- Um fóton inicialmente viaja com comprimento de onda
e momento linear de magnitude . - Um pedaço de vidro (espelho) de massa
estava inicialmente em repouso. - Após o choque, o fóton é refletido e passa a ter comprimento de onda
(maior que ). - O pedaço de vidro adquire momento linear
, na direção oposta ao fóton refletido.
- Um fóton inicialmente viaja com comprimento de onda
- O que o problema pede:
- Determinar
em termos de , , e .
- Determinar
Passo 2
Vamos lembrar da relação de momento para um fóton e fixar um sistema de sinais (isso é crucial para fazer a conta direitinho).
- Conceito: o momento linear (vetorial) de um fóton tem magnitude
onde é a constante de Planck e é o comprimento de onda. O sinal do momento depende da direção do movimento (ou seja, é vetorial). - Escolha de eixo: tomo o eixo
tal que o fóton incidente se move no sentido positivo ( ). Portanto o momento inicial do fóton é - O espelho estava inicialmente em repouso, então seu momento inicial é
.
Passo 3
Agora escrevo os momentos depois do choque, cuidando do sinal (direção).
- O fóton refletido vai no sentido oposto (no sentido
), logo o momento do fóton após o choque é (o sinal negativo indica que aponta para .) - O enunciado diz que o pedaço de vidro adquire momento
na direção oposta ao fóton refletido. Como o fóton refletido está em , o pedaço vai em . Então o momento do pedaço é
Passo 4
Aplicamos a lei da conservação do momento linear (válida para colisões isoladas): o momento total antes = momento total depois.
- Escrevendo isso em
: Expliquei antes: termo da esquerda é o fóton inicial; à direita estão o fóton refletido (negativo) e o pedaço (positivo).
Passo 5
Agora resolvemos a equação acima para
, passo a passo.
- Reescrevendo:
- Multiplico por
: - Isolo
invertendo: - Opcionalmente escrevo numa forma sem fração dentro da fração (às vezes é mais prática):
Passo 6
Comentários físicos e verificação rápida (útil na prova para checar consistência).
- Unidade: no numerador temos
(unidade de ação × comprimento) e no denominador tem unidade de momento × comprimento = ação, logo dimensões batem. - Sinal/positividade: para
positiva precisamos de (ou seja, o momento do pedaço deve ser maior que o momento inicial do fóton), o que faz sentido porque o fóton inverteu sentido e perdeu ainda mais momento; isso também garante que conforme o enunciado.