Questão 02: (modificado de FURG) ( 20 \% ): Calcular o acréscimo de tensão vertical no ponto A , localizado a 3 m abaixo da superficie inicial do terreno, após a construção de um reservatório sobre a superficie do terreno. Considere o reservatório circular, com diâmetro igual a 4 m , que sua fundação aplica ao solo uma tensão uniforme igual a 50 kPa e que a projeção do ponto A está a 3 m do centro da placa.

Passo 1

Enunciado resumido e dados fornecidos (o que se pede):
  • Temos um reservatório circular sobre o terreno com diâmetro igual a 4\\ \text{m}.
  • A pressão uniformemente aplicada pela fundação sobre o solo é q=50\\ \text{kPa}.
  • O ponto A está localizado a 3\\ \text{m} abaixo da superfície ( z=3\\ \text{m}).
  • A projeção do ponto A na superfície está a 3\\ \text{m} do centro da placa ( r=3\\ \text{m}).
  • Pergunta: calcular o acréscimo de tensão vertical em A devido à carga do reservatório (ou seja, \Delta\sigma_z em A).

Passo 2

Conceito e método usado (aula rápida e por que escolhemos este método):
  • A tensão vertical em um ponto do subsolo causada por cargas na superfície pode ser calculada pela solução de Boussinesq para um ponto concentrado. A fórmula clássica para a tensão vertical \sigma_z num ponto a profundidade z devido a uma carga pontual Q aplicada na superfície, distante horizontalmente r do ponto, é
\sigma_z \;=\; \dfrac{3Q\,z^3}{2\pi R^5},
onde
R=\sqrt{r^2+z^2}.
  • Explicando as variáveis: Q é a força do ponto (unidade: kN), z é a profundidade do ponto onde se quer a tensão (m), r é a distância horizontal entre a projeção do ponto e a posição da carga (m) e R é a distância 3D entre a carga e o ponto (m). A expressão dá a tensão vertical no ponto em mesmas unidades de pressão (kPa) se Q estiver em kN e as dimensões em m (1 kN/m^2 = 1 kPa).
  • Para uma carga distribuída (como um carregamento uniforme sobre uma área), usamos superposição: integramos a contribuição de cada elemento diferencial da área. Uma aproximação prática usada em provas (e válida quando o ponto está fora da área carregada ou razoavelmente distante) é substituir a carga distribuída pela sua resultante concentrada Q aplicada no centro da área (carga equivalente). Isso evita integrais complicadas e dá uma estimativa prática. Vou usar essa aproximação e, no final, comparar com o caso central para verificar se o resultado parece razoável.

Passo 3

Calcular a resultante equivalente Q da pressão uniforme:
  • A área da placa circular de raio a (diâmetro 4\\ \text{m}\Rightarrow a=2\\ \text{m}) é
A=\pi a^2=\pi (2)^2=4\pi\\ \text{m}^2.
  • A carga total (resultante) é
Q=q\cdot A = 50\\ \text{kPa}\times 4\pi\\ \text{m}^2 = 200\pi\\ \text{kN}.
(Observação de unidades: 1\\ \text{kPa}=1\\ \text{kN/m}^2, logo q\cdot A fica em kN.)

Passo 4

Calcular a distância R entre a resultante concentrada (centro da placa) e o ponto A:
R=\sqrt{r^2+z^2}=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\\ \text{m}\approx 4,2426\\ \text{m}.

Passo 5

Aplicar a fórmula de Boussinesq para carga pontual (aproximação do carregamento distribuído pela resultante no centro):
  • A fórmula:
\sigma_z=\dfrac{3Q z^3}{2\pi R^5}.
  • Substituindo Q=200\pi, z=3 e R=\sqrt{18}:
    Primeiro calculemos peças intermediárias claramente:
z^3 = 3^3 = 27,
R^5 = (\sqrt{18})^5 = 18^2\sqrt{18}=324\sqrt{18}\approx 1374,6155.
Agora o numerador:
3Q z^3 = 3\cdot(200\pi)\cdot 27 = 16200\pi \approx 50893{,}0.
O denominador:
2\pi R^5 = 2\pi \cdot 1374{,}6155 \approx 8636{,}16.
Finalmente:
\sigma_z \approx \dfrac{50893{,}0}{8636{,}16}\\ \text{kPa}\approx 5{,}894\\ \text{kPa}.
Arredondando de forma prática para duas casas significativas: \sigma_z\approx 5{,}9\\ \text{kPa}.

Passo 6

Verificação de consistência e comentário didático:
  • Uma verificação útil é comparar com a tensão vertical sob o centro da placa (caso em que existe uma fórmula simples para carregamento circular uniforme): para profundidade z abaixo do centro de uma placa circular de raio a,
\sigma_{z,\text{centro}} = q\left(1-\dfrac{1}{\left(1+\left(\dfrac{a}{z}\right)^2\right)^{3/2}}\right).
  • Calculando para a=2\\ \text{m} e z=3\\ \text{m}:
\left(\dfrac{a}{z}\right)^2 = \left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{4}{9}\quad\Rightarrow\quad 1+\left(\dfrac{a}{z}\right)^2=\dfrac{13}{9},
\left(\dfrac{13}{9}\right)^{3/2}\approx 1{,}737\quad\Rightarrow\quad \sigma_{z,\text{centro}} = 50\left(1-\dfrac{1}{1{,}737}\right)\approx 21{,}2\\ \text{kPa}.
  • Observação: o valor no centro é bem maior ( \approx 21{,}2\\ \text{kPa}) porque o ponto está diretamente abaixo da área carregada; nosso ponto A está lateralmente deslocado (projeção fora da placa), portanto a tensão no ponto ser consideravelmente menor ( \sim 5{,}9\\ \text{kPa}) faz sentido físico.
  • Comentário sobre a aproximação: a aproximação pelo Q concentrado no centro tende a subestimar ou superestimar dependendo da geometria; para pontos fora da área a aproximação é frequentemente aceitável como estimativa rápida. Solução exata para ponto fora do centro requer integração mais trabalhosa ou uso de tabelas/gráficos de influência (Newmark) — procedimento que daria um valor próximo mas um pouco diferente. Para uma prova de cálculo rápido, a aproximação feita é uma abordagem válida e defensável se explicada, como fiz acima.

Resposta

5{,}9\\ \text{kPa}

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