Questão 02: (modificado de FURG) (
): Calcular o acréscimo de tensão vertical no ponto A , localizado a 3 m abaixo da superficie inicial do terreno, após a construção de um reservatório sobre a superficie do terreno. Considere o reservatório circular, com diâmetro igual a 4 m , que sua fundação aplica ao solo uma tensão uniforme igual a 50 kPa e que a projeção do ponto A está a 3 m do centro da placa.
Passo 1
Enunciado resumido e dados fornecidos (o que se pede):
- Temos um reservatório circular sobre o terreno com diâmetro igual a
. - A pressão uniformemente aplicada pela fundação sobre o solo é
. - O ponto
está localizado a abaixo da superfície ( ). - A projeção do ponto
na superfície está a do centro da placa ( ). - Pergunta: calcular o acréscimo de tensão vertical em
devido à carga do reservatório (ou seja, em ).
Passo 2
Conceito e método usado (aula rápida e por que escolhemos este método):
- A tensão vertical em um ponto do subsolo causada por cargas na superfície pode ser calculada pela solução de Boussinesq para um ponto concentrado. A fórmula clássica para a tensão vertical
num ponto a profundidade devido a uma carga pontual aplicada na superfície, distante horizontalmente do ponto, é
onde
- Explicando as variáveis:
é a força do ponto (unidade: kN), é a profundidade do ponto onde se quer a tensão (m), é a distância horizontal entre a projeção do ponto e a posição da carga (m) e é a distância 3D entre a carga e o ponto (m). A expressão dá a tensão vertical no ponto em mesmas unidades de pressão (kPa) se estiver em kN e as dimensões em m (1 kN/m^2 = 1 kPa). - Para uma carga distribuída (como um carregamento uniforme sobre uma área), usamos superposição: integramos a contribuição de cada elemento diferencial da área. Uma aproximação prática usada em provas (e válida quando o ponto está fora da área carregada ou razoavelmente distante) é substituir a carga distribuída pela sua resultante concentrada
aplicada no centro da área (carga equivalente). Isso evita integrais complicadas e dá uma estimativa prática. Vou usar essa aproximação e, no final, comparar com o caso central para verificar se o resultado parece razoável.
Passo 3
Calcular a resultante equivalente
da pressão uniforme:
- A área da placa circular de raio
(diâmetro ) é
- A carga total (resultante) é
(Observação de unidades:
, logo
fica em kN.)
Passo 4
Calcular a distância
entre a resultante concentrada (centro da placa) e o ponto
:
Passo 5
Aplicar a fórmula de Boussinesq para carga pontual (aproximação do carregamento distribuído pela resultante no centro):
- A fórmula:
- Substituindo
, e :
Primeiro calculemos peças intermediárias claramente:
Agora o numerador:
O denominador:
Finalmente:
Arredondando de forma prática para duas casas significativas:
.
Passo 6
Verificação de consistência e comentário didático:
- Uma verificação útil é comparar com a tensão vertical sob o centro da placa (caso em que existe uma fórmula simples para carregamento circular uniforme): para profundidade
abaixo do centro de uma placa circular de raio ,
- Calculando para
e :
- Observação: o valor no centro é bem maior (
) porque o ponto está diretamente abaixo da área carregada; nosso ponto está lateralmente deslocado (projeção fora da placa), portanto a tensão no ponto ser consideravelmente menor ( ) faz sentido físico. - Comentário sobre a aproximação: a aproximação pelo Q concentrado no centro tende a subestimar ou superestimar dependendo da geometria; para pontos fora da área a aproximação é frequentemente aceitável como estimativa rápida. Solução exata para ponto fora do centro requer integração mais trabalhosa ou uso de tabelas/gráficos de influência (Newmark) — procedimento que daria um valor próximo mas um pouco diferente. Para uma prova de cálculo rápido, a aproximação feita é uma abordagem válida e defensável se explicada, como fiz acima.