8.96 Uma caldeira de aço, de diâmetro interno
e espessura de parede
, é soldada através de uma costura de solda helicoidal que faz um ângulo
com o eixo axial (veja a Fig. P8.94). A caldeira está sujeita a uma pressão interna
. Determine:
(a) A tensão normal
perpendicular à solda e a tensão cisalhante
paralela à solda. Esquematize os resultados em um elemento apropriadamente orientado.
(b) A tensão cisalhante máxima absoluta atuante na caldeira.
Dados:
e
.
(a) A tensão normal
(b) A tensão cisalhante máxima absoluta atuante na caldeira.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) encontrar a tensão normal perpendicular à solda
e a tensão cisalhante paralela à solda
e esquematizar num elemento orientado; (b) determinar a tensão cisalhante máxima absoluta atuante na caldeira.
Dados fornecidos (vou usar exatamente esses valores): ,
,
,
.
Observação geométrica do enunciado/imagem: a costura helicoidal tem direção que faz um ângulo com o eixo axial; portanto a direção da solda no plano da casca é
(componente axial e circunferencial), e o plano perpendicular à solda tem normal
no plano da casca, ambos no mesmo plano tangente.
Dados fornecidos (vou usar exatamente esses valores):
Observação geométrica do enunciado/imagem: a costura helicoidal tem direção que faz um ângulo
Passo 2
Começamos lembrando as tensões de membrana na parede da caldeira (casca cilíndrica fina) causadas pela pressão interna
. São fórmulas padrão (vou explicar por que): a pressão gera esforços resultantes ao longo da parede; equilibrando forças resulta-se nas tensões médias (em N/m²) distribuídas pela espessura
:
O motivo rápido: uma “faixa” cilíndrica cortada em torno do diâmetro dá
equilibrado por
(unidade de comprimento), levando a
; para axial um corte nos eixos dá metade desse valor, daí o fator
. Essas são as tensões principais no plano da casca (duas direções: axial e circunferencial).
Vamos calcular numericamente essas tensões usando os dados:
Calculemos
e depois as tensões:
Passo 3
Agora precisamos das componentes de tensão numa face cuja direção é a da solda. Definimos no plano da casca duas direções ortogonais: direção axial
e direção circunferencial (hoop)
. A direção da solda (unitária) é
A normal, no plano da casca, perpendicular à solda é
A matriz de tensões (estado de tensão plano) em base
é diagonal:
A tração na face com normal
é
. As componentes são
. A tensão normal à face (escalar) é
Substituindo
e
obtemos a expressão bem conhecida:
A componente de cisalhamento na direção da solda é a projeção da tração sobre
:
Substituindo
e as componentes de
resulta
(signo indica sentido; para resistência de solda geralmente interessa o módulo
.)
Essas fórmulas são intuitivas: se
(solda axial),
e
; se
(solda circumferencial)
e
. Máximo cisalhamento entre as direções ocorre para ângulos intermediários.]
Passo 4
Agora aplicamos numericamente para
. Primeiro calculemos os termos trigonométricos (valores exatos conhecidos):
Usando
e
:
Portanto a tensão normal perpendicular à solda é
(tração) e a tensão cisalhante paralela à solda tem módulo aproximadamente
.
Passo 5
Esquematização do elemento (descrição): pegue um pequeno elemento retangular na casca cuja face maior é a solda. A normal dessa face aponta em
(no plano da casca, perpendicular à solda); sobre essa face há uma tensão normal
aplicada perpendicularmente à face (tracionando) e uma tensão cisalhante
tangencial, dirigida ao longo da solda (no sentido da unitária
). Nas faces ortogonais aparecem as reações correspondentes (elemento em equilíbrio). (Num desenho eu mostraria a reta da solda inclinada
e duas setas: uma normal para fora
e uma tangencial ao longo da solda
.)
Passo 6
Agora a pergunta (b): “A tensão cisalhante máxima absoluta atuante na caldeira.” Em um estado de tensão plano com duas tensões principais
e
, a máxima tensão de cisalhamento absoluta (em qualquer plano) é
Intuição: ocorre em planos a
dos eixos principais. Aqui:
Note que isso é maior que o cisalhamento na própria solda calculado em (a) (
); significa que há planos onde o cisalhamento é ainda maior (não necessariamente alinhados com a solda).