8.96 Uma caldeira de aço, de diâmetro interno d e espessura de parede t, é soldada através de uma costura de solda helicoidal que faz um ângulo \varphi com o eixo axial (veja a Fig. P8.94). A caldeira está sujeita a uma pressão interna p. Determine:
(a) A tensão normal \sigma_{s} perpendicular à solda e a tensão cisalhante \tau_{s} paralela à solda. Esquematize os resultados em um elemento apropriadamente orientado.
(b) A tensão cisalhante máxima absoluta atuante na caldeira.
Dados: d=2 r=1,5 \mathrm{~m}, t=15 \mathrm{~mm}, \varphi=60^{\circ} e p=800 \mathrm{kPa}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) encontrar a tensão normal perpendicular à solda \sigma_{s} e a tensão cisalhante paralela à solda \tau_{s} e esquematizar num elemento orientado; (b) determinar a tensão cisalhante máxima absoluta atuante na caldeira.
Dados fornecidos (vou usar exatamente esses valores): \;r=1,5\\ \mathrm{m}, \;t=15\\ \mathrm{mm}=0,015\\ \mathrm{m}, \;\varphi=60^\circ, \;p=800\\ \mathrm{kPa}=800000\\ \mathrm{Pa}.
Observação geométrica do enunciado/imagem: a costura helicoidal tem direção que faz um ângulo \varphi com o eixo axial; portanto a direção da solda no plano da casca é s (componente axial e circunferencial), e o plano perpendicular à solda tem normal n no plano da casca, ambos no mesmo plano tangente.

Passo 2

Começamos lembrando as tensões de membrana na parede da caldeira (casca cilíndrica fina) causadas pela pressão interna p. São fórmulas padrão (vou explicar por que): a pressão gera esforços resultantes ao longo da parede; equilibrando forças resulta-se nas tensões médias (em N/m²) distribuídas pela espessura t:
\sigma_\theta=\frac{p\,r}{t}\quad\text{(tensão circunferencial / hoop)}ã
\sigma_z=\frac{p\,r}{2t}\quad\text{(tensão axial)}ã
O motivo rápido: uma “faixa” cilíndrica cortada em torno do diâmetro dá p\cdot(2r) equilibrado por \sigma_\theta t\cdot 1 (unidade de comprimento), levando a \sigma_\theta=p r/t; para axial um corte nos eixos dá metade desse valor, daí o fator 1/2. Essas são as tensões principais no plano da casca (duas direções: axial e circunferencial).
Vamos calcular numericamente essas tensões usando os dados:
p=800000\\ \mathrm{Pa},\quad r=1,5\\ \mathrm{m},\quad t=0,015\\ \mathrm{m}.
Calculemos p r e depois as tensões:
p\,r = 800000\cdot 1,5 = 1{,}2\times 10^{6}\\ \mathrm{N/m}.
\sigma_\theta=\frac{1{,}2\times 10^{6}}{0{,}015}=80\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}=80\\ \mathrm{MPa}.
\sigma_z=\frac{\sigma_\theta}{2}=40\\ \mathrm{MPa}.

Passo 3

Agora precisamos das componentes de tensão numa face cuja direção é a da solda. Definimos no plano da casca duas direções ortogonais: direção axial z e direção circunferencial (hoop) \theta. A direção da solda (unitária) é
\mathbf{s}=\cos\varphi\,\mathbf{e}_z+\sin\varphi\,\mathbf{e}_\theta.
A normal, no plano da casca, perpendicular à solda é
\mathbf{n}=-\sin\varphi\,\mathbf{e}_z+\cos\varphi\,\mathbf{e}_\theta.
A matriz de tensões (estado de tensão plano) em base (\mathbf{e}_z,\mathbf{e}_\theta) é diagonal:
\boldsymbol{\sigma}=\begin{pmatrix}\sigma_z & 0\\[4pt] 0 & \sigma_\theta\end{pmatrix}.
A tração na face com normal \mathbf{n} é \mathbf{t}_n=\boldsymbol{\sigma}\mathbf{n}. As componentes são (\sigma_z n_z,\;\sigma_\theta n_\theta). A tensão normal à face (escalar) é
\sigma_n=\mathbf{n}\cdot\mathbf{t}_n = n_z^2\sigma_z + n_\theta^2\sigma_\theta.
Substituindo n_z=-\sin\varphi e n_\theta=\cos\varphi obtemos a expressão bem conhecida:
\boxed{\sigma_{s}=\sigma_n=\sigma_z\sin^2\varphi+\sigma_\theta\cos^2\varphi.}
A componente de cisalhamento na direção da solda é a projeção da tração sobre \mathbf{s}:
\tau_s=\mathbf{s}\cdot\mathbf{t}_n=\sigma_z s_z n_z + \sigma_\theta s_\theta n_\theta.
Substituindo s_z=\cos\varphi,\;s_\theta=\sin\varphi e as componentes de n resulta
\boxed{\tau_{s}=(\sigma_\theta-\sigma_z)\sin\varphi\cos\varphi.}
(signo indica sentido; para resistência de solda geralmente interessa o módulo |\tau_s|.)
Essas fórmulas são intuitivas: se \varphi=0^\circ (solda axial), \sigma_s=\sigma_\theta e \tau_s=0; se \varphi=90^\circ (solda circumferencial) \sigma_s=\sigma_z e \tau_s=0. Máximo cisalhamento entre as direções ocorre para ângulos intermediários.]

Passo 4

Agora aplicamos numericamente para \varphi=60^\circ. Primeiro calculemos os termos trigonométricos (valores exatos conhecidos):
\sin^2 60^\circ=\frac{3}{4}=0{,}75,\qquad \cos^2 60^\circ=\frac{1}{4}=0{,}25,
\sin 60^\circ\cos 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{4}\approx 0{,}4330127.
Usando \sigma_\theta=80\\ \mathrm{MPa} e \sigma_z=40\\ \mathrm{MPa}:
\sigma_{s}=\sigma_z\sin^2\varphi+\sigma_\theta\cos^2\varphi =40\cdot 0{,}75 + 80\cdot 0{,}25 =30+20=50\\ \mathrm{MPa}.
\tau_{s}=(\sigma_\theta-\sigma_z)\sin\varphi\cos\varphi =(80-40)\cdot 0{,}4330127 \approx 40\cdot 0{,}4330127 \approx 17{,}32\\ \mathrm{MPa}.
Portanto a tensão normal perpendicular à solda é 50\\ \mathrm{MPa} (tração) e a tensão cisalhante paralela à solda tem módulo aproximadamente 17{,}32\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Esquematização do elemento (descrição): pegue um pequeno elemento retangular na casca cuja face maior é a solda. A normal dessa face aponta em \mathbf{n} (no plano da casca, perpendicular à solda); sobre essa face há uma tensão normal \sigma_s aplicada perpendicularmente à face (tracionando) e uma tensão cisalhante \tau_s tangencial, dirigida ao longo da solda (no sentido da unitária \mathbf{s}). Nas faces ortogonais aparecem as reações correspondentes (elemento em equilíbrio). (Num desenho eu mostraria a reta da solda inclinada \varphi e duas setas: uma normal para fora \sigma_s e uma tangencial ao longo da solda \tau_s.)

Passo 6

Agora a pergunta (b): “A tensão cisalhante máxima absoluta atuante na caldeira.” Em um estado de tensão plano com duas tensões principais \sigma_1=\sigma_\theta e \sigma_2=\sigma_z, a máxima tensão de cisalhamento absoluta (em qualquer plano) é
\tau_{\max}=\frac{|\sigma_1-\sigma_2|}{2}.
Intuição: ocorre em planos a 45^\circ dos eixos principais. Aqui:
\tau_{\max}=\frac{80-40}{2}=20\\ \mathrm{MPa}.
Note que isso é maior que o cisalhamento na própria solda calculado em (a) ( 17{,}32\\ \mathrm{MPa}); significa que há planos onde o cisalhamento é ainda maior (não necessariamente alinhados com a solda).

Resposta

\sigma_{s}=50\\ \mathrm{MPa}
\tau_{s}=17{,}32\\ \mathrm{MPa}
\tau_{\max}=20\\ \mathrm{MPa}

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