[1,0] Para uma energia E ligeiramente maior que E0 (e momento angular L ), calcule a razão f rad / f rev , em que f rad é a frequência das oscilações radiais em torno de r0 e f rev é a frequência de revolução.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma energia um pouquinho maior que uma energia de referência e um momento angular . Queremos encontrar a razão entre a frequência das oscilações radiais ( ) em torno de um raio e a frequência de revolução ( ).
Matéria envolvida: Mecânica clássica, especificamente órbitas e oscilações em potenciais conservativos.
O que precisamos: Entender como pequenas variações em energia afetam as frequências das oscilações radiais e de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um movimento circular estável em um potencial central, o raio é tal que a força centrípeta balanceia a força do potencial. Quando a energia varia ligeiramente, o sistema pode oscilar radialmente em torno desse raio estável.
Teoria aplicada: Para pequenas oscilações em torno do equilíbrio, podemos aproximar o potencial e estudar as frequências das oscilações usando expansão em série de Taylor.

Passo 3

Vamos considerar que a energia total E(r) approx E(r0) + 12 k (r - r0)^2 é dada pela soma da energia cinética e da energia potencial. Para pequenas variações em torno de , a energia potencial pode ser expandida até o segundo termo:
onde é uma constante relacionada à segunda derivada do potencial em .

Passo 4

A frequência das oscilações radiais omegarad = raizkm está relacionada à constante e à massa efetiva do sistema pela fórmula de uma mola:
onde .

Passo 5

A frequência de revolução frev = v2pi r0 é a frequência com que o objeto completa uma volta ao redor do centro. Ela está relacionada à velocidade tangencial v = Lm r0 e ao raio frev = L2pi m r0^2 :
Mas como estamos no equilíbrio, podemos relacionar com o momento angular e pela relação , então:
Substituindo na expressão de :

Passo 6

Agora, queremos encontrar a razão frad = omegarad2pi = 12pi raizkm . Vamos expressar fradfrev = 12pi raizkmL2pi m r0^2 = raizkm cdot m r0^2L em termos de fradfrev = r0 raizk mL e :
E já temos . Então:
Simplificando:

Passo 7

Para avançar, precisamos relacionar dVdrg|r0 = L^2m r0^3 com as propriedades do potencial. Sabemos que para equilíbrio:
k = d^2Vdr^2g|r0
E a segunda derivada do potencial é:
Em muitos casos, especialmente para potenciais do tipo , podemos encontrar uma relação específica. Porém, sem detalhes adicionais do potencial, assumimos que é dado ou conhecido.

Passo 8

Finalmente, expressamos a razão em termos das variáveis conhecidas:
fradfrev = r0 raizk mL
Esta é a expressão geral para a razão das frequências solicitadas, considerando uma energia ligeiramente maior que e momento angular .

Resposta

A razão entre a frequência das oscilações radiais e a frequência de revolução é dada por:
fradfrev = r0 raizk mL

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