O campo magnético em qualquer ponto de uma região é dado por B=A r times k, onde r é o vetor posição do ponto e A é uma constante. Use a lei de Ampère para calcular a corrente que passa no interior de uma circunferência de raio R no plano x y, com centro na origem?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo magnético definido por , onde é o vetor posição e é uma constante. A pergunta quer saber qual é a corrente que passa dentro de um círculo de raio no plano , usando a Lei de Ampère. Então, vamos precisar entender a Lei de Ampère e como aplicá-la para encontrar essa corrente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Ampère. Ela diz que a integral do campo magnético oint B cdot dell = mu0 Ienc ao longo de um caminho fechado é igual à permeabilidade magnética vezes a corrente total que passa dentro desse caminho. Matemáticamente, fica assim:
Isso significa que, se a gente calcular essa integral para o nosso campo magnético ao redor do círculo que queremos, conseguimos encontrar a corrente que está passando por dentro desse círculo.

Passo 3

Agora, vamos analisar nosso campo magnético B = A (-y i + x j) . O vetor no plano pode ser escrito como . O produto vetorial resulta em . Então, nosso campo magnético fica:

Passo 4

Vamos escolher um caminho fechado para aplicar a Lei de Ampère. Como o problema é simétrico e estamos lidando com um círculo no plano , faz sentido escolher o próprio círculo como nosso caminho de integração. O elemento de comprimento ao longo do caminho é .

Passo 5

Calculando a integral oint B cdot dell = oint A (-y i + x j) cdot dell , temos:
B cdot dell = A (-R sintheta i + R costheta j) cdot R dtheta (-sintheta i + costheta j) = A R^2 dtheta (sin^2theta + cos^2theta) = A R^2 dtheta
No círculo de raio oint B cdot dell = A R^2 integral0^2pi dtheta = 2pi A R^2 , em coordenadas polares, podemos expressar e , e .
Substituindo esses valores:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, aplicando a Lei de Ampère:
oint B cdot dell = mu0 Ienc Rightarrow 2pi A R^2 = mu0 Ienc
Para encontrar a corrente Ienc = 2pi A R^2mu0 , basta isolar:

Resposta

A corrente que passa no interior da circunferência é .

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