O campo magnético em qualquer ponto de uma região é dado por
, onde
é o vetor posição do ponto e A é uma constante. Use a lei de Ampère para calcular a corrente que passa no interior de uma circunferência de raio R no plano
, com centro na origem?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo magnético definido por
, onde
é o vetor posição e
é uma constante. A pergunta quer saber qual é a corrente que passa dentro de um círculo de raio
no plano
, usando a Lei de Ampère. Então, vamos precisar entender a Lei de Ampère e como aplicá-la para encontrar essa corrente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Ampère. Ela diz que a integral do campo magnético
ao longo de um caminho fechado é igual à permeabilidade magnética
vezes a corrente total
que passa dentro desse caminho. Matemáticamente, fica assim:
Isso significa que, se a gente calcular essa integral para o nosso campo magnético ao redor do círculo que queremos, conseguimos encontrar a corrente que está passando por dentro desse círculo.
Passo 3
Agora, vamos analisar nosso campo magnético
. O vetor
no plano
pode ser escrito como
. O produto vetorial
resulta em
. Então, nosso campo magnético fica:
Passo 4
Vamos escolher um caminho fechado para aplicar a Lei de Ampère. Como o problema é simétrico e estamos lidando com um círculo no plano
, faz sentido escolher o próprio círculo como nosso caminho de integração. O elemento de comprimento ao longo do caminho é
.
Passo 5
Calculando a integral
, temos:
No círculo de raio
, em coordenadas polares, podemos expressar
e
, e
.
Substituindo esses valores:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, aplicando a Lei de Ampère:
Para encontrar a corrente
, basta isolar:
Resposta
A corrente que passa no interior da circunferência é
.