[1,5] Um reservatório de gás está conectado a um manômetro em forma de tubo em U , contendo água como fluido manométrico. A pressão atmosférica local é de 1,0 \mathrm{~atm}. Observa-se que a altura da coluna de água em contato com o gás se encontra 0,50 \mathrm{~m} abaixo da coluna em contato com o ar. Determine a pressão do gás no reservatório.
Dados:
Densidade da água: \rho=1,0 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}
Aceleração da gravidade: g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
1 \mathrm{~atm}=1,01 \cdot 10^{5} \mathrm{~Pa}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a pressão do gás no reservatório sabendo que a coluna de água em contato com o gás está 0,50\\ \mathrm{m} abaixo da coluna em contato com o ar. Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • diferença de alturas: h=0,50\\ \mathrm{m};
  • densidade da água: \rho=1,0\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}};
  • aceleração da gravidade: g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}};
  • pressão atmosférica: P_{\text{atm}}=1,01\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
O que se pede: a pressão absoluta do gás no reservatório P_{\text{gás}}á.

Passo 2

Conceito e ideia física (explicação didática): um manômetro em U contém o mesmo fluido (água) nos dois ramos. Num mesmo nível horizontal dentro do mesmo fluido, a pressão é a mesma. A pressão em um ponto do fluido vale a pressão na superfície mais a contribuição hidrostática \rho g vezes a profundidade vertical até o ponto.
Definições que vou usar:
  • P_{\text{gás}}á: pressão do gás na interface com a água no lado do reservatório (o que queremos);
  • P_{\text{atm}}: pressão do ar no lado aberto (dado);
  • \rho: densidade do fluido do manômetro (água);
  • g: aceleração da gravidade;
  • h: diferença vertical entre as superfícies livres (a superfície do lado do ar está h acima da do lado do gás).

Passo 3

Aplicação do princípio (montando a equação):
Escolhe-se um ponto comum C no interior da água a um mesmo nível nos dois ramos. Pela lei hidrostática,
P_C = P_{\text{gás}} + \rho g y_gá
e
P_C = P_{\text{atm}} + \rho g y_a,
onde y_g e y_a são as distâncias verticais da superfície livre de cada lado até o ponto C. Igualando as duas expressões para P_C e isolando P_{\text{gás}}á obtém-se
P_{\text{gás}} = P_{\text{atm}} + \rho g (y_a-y_g).á
Mas y_a-y_g é exatamente a diferença de alturas h dada no enunciado. Logo a relação simples e intuitiva é
P_{\text{gás}} = P_{\text{atm}} + \rho g h.á
Interpretação física rápida: como o nível do lado do gás está mais baixo, o gás exerce pressão maior que a atmosférica; a diferença é a pressão hidrostática da coluna de água de altura h.

Passo 4

Substituição dos números e cálculo passo a passo:
Calcular primeiro a contribuição hidrostática \rho g h:
\rho g h = \left(1,0\times10^{3}\right)\cdot(9,8)\cdot(0,50).
Fazendo as contas:
9,8\cdot0,50 = 4,9,
1,0\times10^{3}\cdot4,9 = 4,9\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
Portanto a diferença de pressão é 4,9\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
Agora somar à pressão atmosférica:
P_{\text{gás}} = 1,01\times10^{5} + 4,9\times10^{3} = 1,059\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.á

Passo 5

Converter para atmosferas (opcional, para referência):
P_{\text{gás}} \div 1,01\times10^{5} = \frac{1,059\times10^{5}}{1,01\times10^{5}}\approx 1,05\\ \mathrm{atm}.á

Resposta

P_{\text{gás}} = 1,059\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}á
P_{\text{gás}} \approx 1,05\\ \mathrm{atm}á

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