[1.] Determinar as curvas integrais das EDOs,
2 x y d x+\left(x^{2}-y\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar as curvas integrais (as soluções gerais) da equação diferencial dada. As informações fornecidas são:
  • A equação diferencial (em forma diferencial) é 2 x y\, dx + \bigl(x^{2}-y\bigr)\, dy = 0.
  • A incógnita é uma função y de x; ou seja, buscamos curvas y(x) que satisfazem essa relação diferencial.
  • O objetivo final é escrever a família de soluções (uma constante de integração aparecerá).

Passo 2

Primeiro passo técnico: reescrever a equação na forma padrão M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0.
Aqui podemos identificar
M(x,y)=2xy, \qquad N(x,y)=x^{2}-y.
Isto significa que a condição diferencial é exatamente M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com M e N dados acima. É importante sempre identificar M e N para testar propriedades úteis (por exemplo, verificar se existe uma função potencial).

Passo 3

Vamos verificar se a equação é exata. A definição prática que usamos é: a forma M\,dx+N\,dy é exata em uma região se \partial M/\partial y = \partial N/\partial x nessa região. Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}-y)=2x.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=2x, a equação é exata (pelo menos onde M e N são diferenciáveis, isto é, para todos os (x,y) reais). Isso significa que existe uma função F(x,y) tal que \,dF=M\,dx+N\,dy e, portanto, as soluções são dadas implicitamente por F(x,y)=C, onde C é constante.

Passo 4

Agora vamos construir a função potencial F(x,y). Pela exatidão, deve valer
\frac{\partial F}{\partial x}=M(x,y)=2xy, \qquad \frac{\partial F}{\partial y}=N(x,y)=x^{2}-y.
Integramos \partial F/\partial x=2xy em relação a x, tratando y como constante:
F(x,y)=\int 2xy\,dx = x^{2}y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y (porque integrámos em x). Essa expressão é um candidato para F; precisamos determinar h(y) usando a segunda condição \partial F/\partial y = x^{2}-y.

Passo 5

Calculemos \partial F/\partial y a partir do candidato:
\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y + h(y)\bigr) = x^{2} + h'(y).
Comparando com a condição dada \partial F/\partial y = x^{2}-y, obtemos
x^{2} + h'(y) = x^{2} - y \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = -y.
Integramos h'(y) em y:
h(y)=\int (-y)\,dy = -\frac{y^{2}}{2} + \text{constante}.
Podemos absorver a constante absoluta final em C na solução implícita, então tomamos h(y)=-\dfrac{y^{2}}{2}.

Passo 6

Assim a função potencial completa é
F(x,y)=x^{2}y - \frac{y^{2}}{2}.
As curvas integrais (soluções implícitas) são dadas por
F(x,y)=x^{2}y - \frac{y^{2}}{2}=C,
onde C é uma constante real arbitrária. Esta é a família geral de soluções. Uma forma útil de reescrever é fatorar:
x^{2}y - \frac{y^{2}}{2}=y\!\left(x^{2}-\frac{y}{2}\right)=C.

Passo 7

Podemos também resolver explicitamente para y (quando for conveniente) visto que a relação é uma equação quadrática em y. Multiplicando por 2 para simplificar:
y^{2} - 2x^{2}y + 2C = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara para y:
y = \frac{2x^{2} \pm \sqrt{(2x^{2})^{2} - 8C}}{2} = x^{2} \pm \sqrt{x^{4} - 2C}.
Essa expressão dá soluções explícitas y(x) sempre que o discriminante x^{4}-2C for não negativo (ou seja, na região onde a raiz é real). Note que a forma implícita \,F(x,y)=C é suficiente e muitas vezes preferida.

Passo 8

Observação sobre soluções especiais: para C=0 a equação implícita fica
y\!\left(x^{2}-\frac{y}{2}\right)=0,
o que corresponde à união de duas curvas explícitas:
y=0 \qquad\text{ou}\qquad y=2x^{2}.
Ambas são soluções particulares (curvas integrais) e estão incluídas na família \,F(x,y)=C com C=0. É bom verificar substituindo nas equações diferenciais (pode-se checar que ambas satisfazem a equação original).

Resposta

x^{2}y-\frac{y^{2}}{2}=C,\quad C\in\mathbb{R}
\text{(ou explicitamente) }\; y(x)=x^{2}\pm\sqrt{x^{4}-2C}\; \text{, quando }x^{4}-2C\ge 0
\text{Para }C=0\text{ as soluções particulares são }y=0\text{ e }y=2x^{2}.çõã

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