[1.] Determinar as curvas integrais das EDOs,
Passo 1
O enunciado pede para determinar as curvas integrais (as soluções gerais) da equação diferencial dada. As informações fornecidas são:
- A equação diferencial (em forma diferencial) é
- A incógnita é uma função
de ; ou seja, buscamos curvas que satisfazem essa relação diferencial. - O objetivo final é escrever a família de soluções (uma constante de integração aparecerá).
Passo 2
Primeiro passo técnico: reescrever a equação na forma padrão
Aqui podemos identificar
Isto significa que a condição diferencial é exatamente
com
e
dados acima. É importante sempre identificar
e
para testar propriedades úteis (por exemplo, verificar se existe uma função potencial).
Passo 3
Vamos verificar se a equação é exata. A definição prática que usamos é: a forma
é exata em uma região se
nessa região. Calculemos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata (pelo menos onde
e
são diferenciáveis, isto é, para todos os
reais). Isso significa que existe uma função
tal que
e, portanto, as soluções são dadas implicitamente por
onde
é constante.
Passo 4
Agora vamos construir a função potencial
. Pela exatidão, deve valer
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
(porque integrámos em
). Essa expressão é um candidato para
; precisamos determinar
usando a segunda condição
.
Passo 5
Calculemos
a partir do candidato:
Comparando com a condição dada
, obtemos
Integramos
em
:
Podemos absorver a constante absoluta final em
na solução implícita, então tomamos
.
Passo 6
Assim a função potencial completa é
As curvas integrais (soluções implícitas) são dadas por
onde
é uma constante real arbitrária. Esta é a família geral de soluções. Uma forma útil de reescrever é fatorar:
Passo 7
Podemos também resolver explicitamente para
(quando for conveniente) visto que a relação é uma equação quadrática em
. Multiplicando por
para simplificar:
Aplicando a fórmula de Bhaskara para
:
Essa expressão dá soluções explícitas
sempre que o discriminante
for não negativo (ou seja, na região onde a raiz é real). Note que a forma implícita
é suficiente e muitas vezes preferida.
Passo 8
Observação sobre soluções especiais: para
a equação implícita fica
o que corresponde à união de duas curvas explícitas:
Ambas são soluções particulares (curvas integrais) e estão incluídas na família
com
. É bom verificar substituindo nas equações diferenciais (pode-se checar que ambas satisfazem a equação original).