Escreva as seguintes EDOs na forma exata e em seguida encontre a solução geral de cada uma delas,
Passo 1
O enunciado pede: escrever a EDO na forma exata e encontrar a solução geral da equação
Primeiro vamos reescrever a equação no formato diferencial padrão
listando explicitamente as funções
e
dadas pela equação.
Informações dadas (retiradas do enunciado):
- A equação é
. - Agrupando termos em
e obtemos as funções:
O que é pedido:
- Escrever a equação na forma exata (ou seja, encontrar uma forma exata equivalente).
- Encontrar a solução geral (a primitiva potencial
).
Passo 2
Conceito importante (aula rápida): uma equação diferencial na forma
é exata se existe uma função
tal que
A condição prática de exatidão (quando
e
são
) é
Vamos verificar se a equação original é exata.
Cálculo das derivadas parciais:
Como
em geral, a equação NÃO é exata na forma original.
Passo 3
Estratégia didática: procurar um fator integrante (integrating factor)
tal que, multiplicando a equação por
, a nova equação
seja exata.
Uma forma prática e comum é tentar um fator integrante do tipo
Uma forma prática e comum é tentar um fator integrante do tipo
com
inteiros a determinar. Vou explicar como achar
.
Multiplicando:
,
e .
e
Para exatidão precisamos de
Calculando as derivadas parciais:
Essas expressões têm dois termos cada; para que a igualdade valha para todo
há duas possibilidades: fazer os pares de termos coincidir em potência (difícil aqui) ou anular um dos pares forçando seu coeficiente a ser zero. Note que se escolhermos
então os coeficientes
e
ficam zero, e as segundas parcelas desaparecem, sobrando apenas comparar as primeiras parcelas:
o que é verdadeiro quando
. Como escolhemos
, a condição de exatidão é satisfeita.
Conclusão prática: um fator integrante que funciona é
Passo 4
Multiplicando a equação original pelo fator integrante
, obtemos:
Aqui defini
e
.
Verificação rápida de exatidão (para confirmar):
Verificação rápida de exatidão (para confirmar):
Como as derivadas parciais coincidem, a equação é exata.
Agora existe uma função potencial
tal que
Passo 5
Encontra-se
integrando
em relação a
(tratando
como constante):
Calcule a integral
:
Portanto
onde
é uma função a determinar (constante de integração com respeito a
).
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Igualando a
obtemos
Integrando
em
:
Logo a função potencial é
Passo 6
Conclusão: a solução implícita geral (após multiplicar pela fator integrante) é dada por
onde
é constante arbitrária.
Observação prática para prova: é importante reconhecer padrões simétricos e tentar um fator integrante do tipo
. Aqui a escolha
zera os termos de maior ordem e torna a forma exata, o que facilita a integração.