Escreva as seguintes EDOs na forma exata e em seguida encontre a solução geral de cada uma delas,
x d y+y d x+x^{4} y^{4}(x d x+y d y)=0

Passo 1

O enunciado pede: escrever a EDO na forma exata e encontrar a solução geral da equação
x\,dy+y\,dx+x^{4}y^{4}(x\,dx+y\,dy)=0.
Primeiro vamos reescrever a equação no formato diferencial padrão
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,
listando explicitamente as funções M e N dadas pela equação.
Informações dadas (retiradas do enunciado):
  • A equação é \;x\,dy+y\,dx+x^{4}y^{4}(x\,dx+y\,dy)=0.
  • Agrupando termos em dx e dy obtemos as funções:
M(x,y)=y + x^{5}y^{4}, \qquad N(x,y)=x + x^{4}y^{5}.
O que é pedido:
  • Escrever a equação na forma exata (ou seja, encontrar uma forma exata equivalente).
  • Encontrar a solução geral (a primitiva potencial \Phi(x,y)=C).

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): uma equação diferencial na forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
é exata se existe uma função \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y), \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y).
A condição prática de exatidão (quando M e N são C^1) é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Vamos verificar se a equação original é exata.
Cálculo das derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(y + x^{5}y^{4}\big) = 1 + 4x^{5}y^{3},
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(x + x^{4}y^{5}\big) = 1 + 4x^{3}y^{5}.
Como
1+4x^{5}y^{3}\neq 1+4x^{3}y^{5}
em geral, a equação NÃO é exata na forma original.

Passo 3

Estratégia didática: procurar um fator integrante (integrating factor) \mu(x,y) tal que, multiplicando a equação por \mu, a nova equação \mu M\,dx+\mu N\,dy=0 seja exata.
Uma forma prática e comum é tentar um fator integrante do tipo
\mu(x,y)=x^{m}y^{n},
com m,n inteiros a determinar. Vou explicar como achar m,n.
Multiplicando: \mu M = x^{m}y^{n}(y + x^{5}y^{4}) = x^{m}y^{n+1}+x^{m+5}y^{n+4},
e \mu N = x^{m}y^{n}(x + x^{4}y^{5}) = x^{m+1}y^{n}+x^{m+4}y^{n+5}.
Para exatidão precisamos de
\frac{\partial}{\partial y}(\mu M)=\frac{\partial}{\partial x}(\mu N).
Calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial}{\partial y}(\mu M)=(n+1)x^{m}y^{n}+(n+4)x^{m+5}y^{n+3},
\frac{\partial}{\partial x}(\mu N)=(m+1)x^{m}y^{n}+(m+4)x^{m+3}y^{n+5}.
Essas expressões têm dois termos cada; para que a igualdade valha para todo (x,y) há duas possibilidades: fazer os pares de termos coincidir em potência (difícil aqui) ou anular um dos pares forçando seu coeficiente a ser zero. Note que se escolhermos
m=-4,\qquad n=-4,
então os coeficientes (n+4) e (m+4) ficam zero, e as segundas parcelas desaparecem, sobrando apenas comparar as primeiras parcelas:
(n+1)x^{m}y^{n}=(m+1)x^{m}y^{n}\quad\Rightarrow\quad n+1=m+1,
o que é verdadeiro quando m=n. Como escolhemos m=n=-4, a condição de exatidão é satisfeita.
Conclusão prática: um fator integrante que funciona é
\mu(x,y)=x^{-4}y^{-4}=\frac{1}{x^{4}y^{4}}.

Passo 4

Multiplicando a equação original pelo fator integrante \mu=\dfrac{1}{x^{4}y^{4}}, obtemos:
\left(x + \frac{1}{x^{4}y^{3}}\right)dx + \left(y + \frac{1}{x^{3}y^{4}}\right)dy = 0.
Aqui defini \widetilde{M}(x,y)=x + \dfrac{1}{x^{4}y^{3}} e \widetilde{N}(x,y)=y + \dfrac{1}{x^{3}y^{4}}.
Verificação rápida de exatidão (para confirmar):
\frac{\partial \widetilde{M}}{\partial y} = 0 + \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{x^{4}y^{3}}\right) = -\frac{3}{x^{4}y^{4}},
\frac{\partial \widetilde{N}}{\partial x} = 0 + \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{x^{3}y^{4}}\right) = -\frac{3}{x^{4}y^{4}}.
Como as derivadas parciais coincidem, a equação é exata.
Agora existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=\widetilde{M}(x,y), \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=\widetilde{N}(x,y).

Passo 5

Encontra-se \Phi integrando \widetilde{M} em relação a x (tratando y como constante):
\Phi(x,y)=\int \widetilde{M}(x,y)\,dx = \int \left(x + \frac{1}{x^{4}y^{3}}\right)dx = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{y^{3}}\int x^{-4}dx.
Calcule a integral \int x^{-4}dx:
\int x^{-4}dx = \frac{x^{-3}}{-3} = -\frac{1}{3x^{3}}.
Portanto
\Phi(x,y)=\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{3x^{3}y^{3}} + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar (constante de integração com respeito a x).
Para encontrar h(y), derivamos \Phi em relação a y e igualamos a \widetilde{N}:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = 0 + \frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{1}{3x^{3}y^{3}}\right) + h'(y) = -\frac{1}{3x^{3}}\cdot(-3)y^{-4} + h'(y) = \frac{1}{x^{3}y^{4}} + h'(y).
Igualando a \widetilde{N}(x,y)=y+\dfrac{1}{x^{3}y^{4}} obtemos
\frac{1}{x^{3}y^{4}} + h'(y) = y + \frac{1}{x^{3}y^{4}} \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=y.
Integrando h'(y)=y em y:
h(y)=\frac{y^{2}}{2}+C.
Logo a função potencial é
\Phi(x,y)=\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}-\frac{1}{3x^{3}y^{3}}+C.

Passo 6

Conclusão: a solução implícita geral (após multiplicar pela fator integrante) é dada por
\Phi(x,y)=\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}-\frac{1}{3x^{3}y^{3}}=C,
onde C é constante arbitrária.
Observação prática para prova: é importante reconhecer padrões simétricos e tentar um fator integrante do tipo x^{m}y^{n}. Aqui a escolha m=n=-4 zera os termos de maior ordem e torna a forma exata, o que facilita a integração.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}-\frac{1}{3x^{3}y^{3}}=C

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