[1.] Encontre a solução geral da EDO,
y^{\prime}=f(x, y)=2 y
A seguir encontre a solução que passa pelo ponto ( 0,1 ).

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial ordinária e pede duas coisas:
  • Equação dada: y' = f(x,y) = 2y.
  • Pedidos:
    1. Encontrar a solução geral da EDO.
    2. Encontrar a solução particular que passa pelo ponto (0,1).
Informações relevantes dadas: a derivada de y em relação a x é igual a 2 vezes y. Não há outras condições a priori, exceto a condição inicial para a segunda parte: y(0)=1.

Passo 2

Escolhendo um método: a equação tem o lado direito dependente apenas de y (ou seja, 2y), então é natural usar separação de variáveis — um método simples e direto. A ideia da separação é reorganizar a equação para colocar os termos com y do lado esquerdo e os termos com x do lado direito, e então integrar ambos os lados.
Antes de separar, escrevemos explicitamente a derivada como taxa:
\frac{dy}{dx}=2y.

Passo 3

Separando as variáveis: dividimos ambos os lados por y (com a ressalva que isso exige y\neq0; trataremos a solução y\equiv0 separadamente) e multiplicamos por dx, obtendo
\frac{1}{y}\,dy = 2\,dx.
Agora integramos os dois lados. A integral do lado esquerdo é a integral de \tfrac{1}{y} em relação a y; a do lado direito é a integral de 2 em relação a x:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int 2\,dx.

Passo 4

Calculando as integrais:
\ln|y| = 2x + C,
onde C é a constante de integração (número real). Esta igualdade vem da antiderivada de \tfrac{1}{y} ser \ln|y| e da antiderivada de 2 ser 2x.

Passo 5

Isolando y: exponenciando ambos os lados
|y| = e^{2x+C} = e^{C} e^{2x}.
Escrevendo A=e^{C}>0 e lembrando que o sinal absoluto permite incluir sinal positivo ou negativo, obtemos
y = \pm A e^{2x}.
É costume absorver o sinal e a constante positiva em uma constante real arbitrária C\in\mathbb{R}. Assim a forma geral das soluções é
y(x) = C e^{2x},\qquad C\in\mathbb{R}.
Nota: a escolha C=0 dá a solução trivial y\equiv0, que também satisfaz a equação original.

Passo 6

Agora aplicamos a condição inicial para encontrar a solução particular que passa por (0,1). A condição é y(0)=1. Usando a solução geral:
y(0)=C e^{2\cdot 0}=C e^{0}=C.
Portanto C=1, e a solução particular é
y(x)=e^{2x}.

Passo 7

Verificação rápida (útil para a prova): derivando y(x)=e^{2x} obtemos \tfrac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x}. Como 2e^{2x}=2y(x), a equação diferencial é satisfeita e a condição inicial é satisfeita também.

Resposta

\displaystyle y(x)=C e^{2x},\;C\in\mathbb{R}\n
\displaystyle y(x)=e^{2x}

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