[1.] Encontre a solução geral da EDO,
A seguir encontre a solução que passa pelo ponto ( 0,1 ).
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial ordinária e pede duas coisas:
- Equação dada:
- Pedidos:
- Encontrar a solução geral da EDO.
- Encontrar a solução particular que passa pelo ponto
.
Informações relevantes dadas: a derivada de
em relação a
é igual a
vezes
. Não há outras condições a priori, exceto a condição inicial para a segunda parte:
.
Passo 2
Escolhendo um método: a equação tem o lado direito dependente apenas de
(ou seja,
), então é natural usar separação de variáveis — um método simples e direto. A ideia da separação é reorganizar a equação para colocar os termos com
do lado esquerdo e os termos com
do lado direito, e então integrar ambos os lados.
Antes de separar, escrevemos explicitamente a derivada como taxa:
Passo 3
Separando as variáveis: dividimos ambos os lados por
(com a ressalva que isso exige
; trataremos a solução
separadamente) e multiplicamos por
, obtendo
Agora integramos os dois lados. A integral do lado esquerdo é a integral de
em relação a
; a do lado direito é a integral de
em relação a
:
Passo 4
Calculando as integrais:
onde
é a constante de integração (número real). Esta igualdade vem da antiderivada de
ser
e da antiderivada de
ser
.
Passo 5
Isolando
: exponenciando ambos os lados
Escrevendo
e lembrando que o sinal absoluto permite incluir sinal positivo ou negativo, obtemos
É costume absorver o sinal e a constante positiva em uma constante real arbitrária
. Assim a forma geral das soluções é
Nota: a escolha
dá a solução trivial
, que também satisfaz a equação original.
Passo 6
Agora aplicamos a condição inicial para encontrar a solução particular que passa por
. A condição é
. Usando a solução geral:
Portanto
, e a solução particular é
Passo 7
Verificação rápida (útil para a prova): derivando
obtemos
. Como
, a equação diferencial é satisfeita e a condição inicial é satisfeita também.