Teorema 6.1 (Existência e Unicidade). Se a função f(x, y) de duas variáveis e a sua derivada parcial \partial_{y} f(x, y) forem contínuas no retângulo,
\Omega=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}:\left|x-x_{0}\right| \leq a ; \quad\left|y-y_{0}\right| \leq b\right\}
possui uma única solução \varphi(x) definida no intervalo I_{\tau}=\left[x_{0}-\tau, x_{0}+\tau\right], onde \tau=\min \{a, b / M\} e M é o valor máximo assumido pela função f no retângulo \Omega.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado):
Dados:
A função f(x,y) e sua derivada parcial \partial_{y}f(x,y) são contínuas no retângulo\Omega=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\\ |x-x_0|\le a,\; |y-y_0|\le b\}.
Denota-se por M o máximo de |f| em \Omega:M=\max_{(x,y)\in\Omega} |f(x,y)|.
Foi definido \tau=\min\{a,\; b/M\} e o intervaloI_{\tau}=[x_0-\tau,\; x_0+\tau].
Problema de valor inicial:y'=f(x,y),\qquad y(x_0)=y_0.
O que pedir: provar que existe uma única solução \varphi(x) do problema, definida em I_{\tau}.
Passo 2
Transformar a EDO em uma equação integral (isso é padrão e facilita o uso de aproximações). Se y é solução diferenciável então, integrando ambos os lados entre x_0 e x,
y(x)=y_0+\int_{x_0}^{x} f(t,y(t))\,dt.
Vamos resolver essa equação integral por iterações de Picard (aproximações sucessivas). A ideia: definir um operador T que leva uma função contínua y em outra função T(y) dada por
(Ty)(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} f(t,y(t))\,dt.
Provaremos que T tem um ponto fixo (ou seja, uma função \varphi tal que T\varphi=\varphi), e esse ponto fixo será a solução procurada.
Passo 3
Definir o espaço de funções onde vamos aplicar T e justificar que T mapeia esse espaço nele mesmo.
Considere o espaço C(I_{\tau}) das funções contínuas y:I_{\tau}\to\mathbb{R} com a norma do supremo
\|y\|=\sup_{x\in I_{\tau}} |y(x)-y_0|.
Considere a bola fechada
B=\{y\in C(I_{\tau}): \|y\|\le b\}.
Essa escolha faz sentido porque queremos garantir que as funções que tratamos permanecem no retângulo \Omega em y-coord.: se \|y\|\le b então |y(x)-y_0|\le b para todo x, ou seja |y(x)-y_0|\le b\Rightarrow |y(x)-y_0|\le b e portanto (x,y(x))\in\Omega enquanto |x-x_0|\le\tau\le a.
Mostrar que T(B)\subset B. Para y\in B e x\in I_{\tau},
Como \tau\le b/M por definição de \tau, obtemos M\tau\le b. Logo \|Ty\|\le b, isto é Ty\in B. Portanto T mapeia B em B.
Passo 4
Mostrar que a derivada parcial contínua em \Omega implica uma constante de Lipschitz em y (isso será usado nas estimativas).
Como \partial_{y}f é contínua em \Omega que é compacto, então \partial_{y}f é limitada lá. DefinaL=\max_{(x,y)\in\Omega} \left|\partial_{y}f(x,y)\right|.Pelo Teorema do Valor Médio aplicado em cada vertical (fixando x e vendo y\mapsto f(x,y)), para quaisquer y_1,y_2 com (x,y_i)\in\Omega vale|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\le L|y_1-y_2|.Ou seja, f é Lipschitz em y com constante L no retângulo \Omega.
Passo 5
Construir as aproximações de Picard e obter estimativas que garantem convergência uniforme.
Logo a série \sum (\phi_{n+1}-\phi_n) converge uniformemente em I_{\tau}. Consequentemente a sequência (\phi_n) é uniforme Cauchy e portanto converge uniformemente em C(I_{\tau}) para alguma função contínua \varphi.
Passo 6
Passar ao limite para concluir que a função limite \varphi é solução da equação integral e, portanto, da EDO.
Como \phi_n\to\varphi uniformemente e f é contínua em \Omega, ao passar ao limite na definição\phi_{n+1}(x)=y_0+\int_{x_0}^{x} f(t,\phi_n(t))\,dtobtemos (pela convergência uniforme e pelo teorema de convergência dominada / continuidade do integrando)\varphi(x)=y_0+\int_{x_0}^{x} f(t,\varphi(t))\,dt.
Diferenciando (a integral dá função diferenciável), concluímos\varphi'(x)=f(x,\varphi(x)),\qquad \varphi(x_0)=y_0,ou seja, \varphi é solução do problema de valor inicial no intervalo I_{\tau}. Além disso, por construção (x,\varphi(x))\in\Omega para todo x\in I_{\tau}.
Passo 7
Provar unicidade da solução (aquela ideia do “se houver duas, então são iguais”, usando desigualdade integral / Grönwall).
Suponha que existam duas soluções \varphi e \psi definidas em I_{\tau} que satisfazem a EDO e a condição inicial. Considere a funçãog(x)=|\varphi(x)-\psi(x)|.Usando a forma integral das soluções e a propriedade Lipschitz em y,\begin{aligned} g(x) &=\left| \int_{x_0}^{x} \bigl[ f(t,\varphi(t))-f(t,\psi(t))\bigr]\,dt\right| \le \int_{x_0}^{x} L\,|\varphi(t)-\psi(t)|\,dt\\\ &=L\int_{x_0}^{x} g(t)\,dt. \end{aligned}Defina G(x)=\int_{x_0}^{x} g(t)\,dt. Então G'(x)=g(x) e a desigualdade acima dáG'(x)\le L G(x),\qquad G(x_0)=0.Considere h(x)=e^{-L(x-x_0)}G(x). Entãoh'(x)=e^{-L(x-x_0)}\bigl(G'(x)-L G(x)\bigr)\le 0,o que implica que h é decrescente em I_{\tau}. Como h(x_0)=0 e h é decrescente, temos h(x)\le 0 para x\ge x_0; mas G\ge 0 implica h\ge 0, então h\equiv 0 em I_{\tau}. Portanto G\equiv 0 e assim g\equiv 0. O mesmo argumento funciona para x\le x_0. Conclui-se \varphi\equiv\psi em I_{\tau}.
Passo 8
Resumo final do argumento (recapitulando os blocos lógicos para a prova):
Usamos a integral associada à EDO e definimos o operador T.
Mostramos que T envia a bola B de funções contínuas para ela própria, usando o fato de que |f|\le M e a escolha \tau\le b/M.
A continuidade de \partial_y f no retângulo garante uma constante L de Lipschitz em y para f.
Construímos as aproximações de Picard \phi_n e estabelecemos estimativas fatoriais que implicam convergência uniforme da sequência.
O limite \varphi satisfaz a equação integral e, por diferenciação, a EDO com a condição inicial.
A unicidade foi obtida por uma desigualdade integral e o argumento de Grönwall (ou equivalente com fator integrante), que força a diferença entre duas soluções a ser identicamente zero.
Resposta
Existe uma única solução \varphi(x) do problema y'=f(x,y),\; y(x_0)=y_0 definida em I_{\tau}=[x_0-\tau,x_0+\tau], com \tau=\min\{a,\;b/M\}.