Teorema 6.1 (Existência e Unicidade). Se a função f(x, y) de duas variáveis e a sua derivada parcial \partial_{y} f(x, y) forem contínuas no retângulo,
\Omega=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}:\left|x-x_{0}\right| \leq a ; \quad\left|y-y_{0}\right| \leq b\right\}
então o problema de valor inicial,
y^{\prime}=f(x, y), \quad y\left(x_{0}\right)=y_{0}
possui uma única solução \varphi(x) definida no intervalo I_{\tau}=\left[x_{0}-\tau, x_{0}+\tau\right], onde \tau=\min \{a, b / M\} e M é o valor máximo assumido pela função f no retângulo \Omega.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado):
  • Dados:
    • A função f(x,y) e sua derivada parcial \partial_{y}f(x,y) são contínuas no retângulo \Omega=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\\ |x-x_0|\le a,\; |y-y_0|\le b\}.
    • Denota-se por M o máximo de |f| em \Omega: M=\max_{(x,y)\in\Omega} |f(x,y)|.
    • Foi definido \tau=\min\{a,\; b/M\} e o intervalo I_{\tau}=[x_0-\tau,\; x_0+\tau].
    • Problema de valor inicial: y'=f(x,y),\qquad y(x_0)=y_0.
  • O que pedir: provar que existe uma única solução \varphi(x) do problema, definida em I_{\tau}.

Passo 2

Transformar a EDO em uma equação integral (isso é padrão e facilita o uso de aproximações). Se y é solução diferenciável então, integrando ambos os lados entre x_0 e x,
y(x)=y_0+\int_{x_0}^{x} f(t,y(t))\,dt.
Vamos resolver essa equação integral por iterações de Picard (aproximações sucessivas). A ideia: definir um operador T que leva uma função contínua y em outra função T(y) dada por
(Ty)(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} f(t,y(t))\,dt.
Provaremos que T tem um ponto fixo (ou seja, uma função \varphi tal que T\varphi=\varphi), e esse ponto fixo será a solução procurada.

Passo 3

Definir o espaço de funções onde vamos aplicar T e justificar que T mapeia esse espaço nele mesmo.
  • Considere o espaço C(I_{\tau}) das funções contínuas y:I_{\tau}\to\mathbb{R} com a norma do supremo
    \|y\|=\sup_{x\in I_{\tau}} |y(x)-y_0|.
  • Considere a bola fechada
    B=\{y\in C(I_{\tau}): \|y\|\le b\}.
    Essa escolha faz sentido porque queremos garantir que as funções que tratamos permanecem no retângulo \Omega em y-coord.: se \|y\|\le b então |y(x)-y_0|\le b para todo x, ou seja |y(x)-y_0|\le b\Rightarrow |y(x)-y_0|\le b e portanto (x,y(x))\in\Omega enquanto |x-x_0|\le\tau\le a.
  • Mostrar que T(B)\subset B. Para y\in B e x\in I_{\tau},
    |(Ty)(x)-y_0| = \left|\int_{x_0}^{x} f(t,y(t))\,dt\right|\le \int_{x_0}^{x} |f(t,y(t))|\,dt \le M|x-x_0|\le M\tau.
    Como \tau\le b/M por definição de \tau, obtemos M\tau\le b. Logo \|Ty\|\le b, isto é Ty\in B. Portanto T mapeia B em B.

Passo 4

Mostrar que a derivada parcial contínua em \Omega implica uma constante de Lipschitz em y (isso será usado nas estimativas).
  • Como \partial_{y}f é contínua em \Omega que é compacto, então \partial_{y}f é limitada lá. Defina L=\max_{(x,y)\in\Omega} \left|\partial_{y}f(x,y)\right|.Pelo Teorema do Valor Médio aplicado em cada vertical (fixando x e vendo y\mapsto f(x,y)), para quaisquer y_1,y_2 com (x,y_i)\in\Omega vale |f(x,y_1)-f(x,y_2)|\le L|y_1-y_2|.Ou seja, f é Lipschitz em y com constante L no retângulo \Omega.

Passo 5

Construir as aproximações de Picard e obter estimativas que garantem convergência uniforme.
  • Defina a sequência de funções por iteração:
    \phi_0(x)\equiv y_0,\qquad \phi_{n+1}(x)=y_0+\int_{x_0}^{x} f(t,\phi_n(t))\,dt.
    Observação: \phi_0\in B, e já vimos que T(B)\subset B, logo por indução todos \phi_n\in B.
  • Estimativa das diferenças sucessivas. Vamos provar por indução que, para todo n\ge 0 e todo x\in I_{\tau},
    |\phi_{n+1}(x)-\phi_n(x)|\le \frac{M L^{n} |x-x_0|^{n+1}}{(n+1)!}.
    Base n=0: |\phi_1(x)-\phi_0(x)| = \left|\int_{x_0}^{x} f(t,y_0)\,dt\right|\le M|x-x_0| = \dfrac{M|x-x_0|^{1}}{1!}, OK.
    Passo indutivo: suponha a estimativa válida para n-1. Então, usando a propriedade Lipschitz,
    \begin{aligned} |\phi_{n+1}(x)-\phi_n(x)| &=\left|\int_{x_0}^{x} \bigl[f(t,\phi_n(t))-f(t,\phi_{n-1}(t))\bigr]\,dt\right|\\\ &\le \int_{x_0}^{x} L\,|\phi_n(t)-\phi_{n-1}(t)|\,dt\\\ &\le \int_{x_0}^{x} L\cdot \frac{M L^{n-1}|t-x_0|^{n}}{n!}\,dt = \frac{M L^{n}}{n!}\int_{x_0}^{x} |t-x_0|^{n}\,dt\\\ &=\frac{M L^{n}}{n!}\cdot\frac{|x-x_0|^{n+1}}{n+1} =\frac{M L^{n}|x-x_0|^{n+1}}{(n+1)!}, \end{aligned}
    que é exatamente o passo indutivo.
  • Estimativa uniforme na bola I_{\tau}. Tomando supremo em x\in I_{\tau},
    \|\phi_{n+1}-\phi_n\|_{\infty}\le \frac{M L^{n}\tau^{n+1}}{(n+1)!}.
    A soma das normas das diferenças é majorada por uma série convergente (pela comparação com série de tipo exponencial/fatorial):
    \sum_{n=0}^{\infty} \|\phi_{n+1}-\phi_n\|_{\infty} \le M\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(L\tau)^{n}\tau}{(n+1)!} = M\cdot\frac{1}{L}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(L\tau)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{M}{L}\left(e^{L\tau}-1\right)<\infty.
    Logo a série \sum (\phi_{n+1}-\phi_n) converge uniformemente em I_{\tau}. Consequentemente a sequência (\phi_n) é uniforme Cauchy e portanto converge uniformemente em C(I_{\tau}) para alguma função contínua \varphi.

Passo 6

Passar ao limite para concluir que a função limite \varphi é solução da equação integral e, portanto, da EDO.
  • Como \phi_n\to\varphi uniformemente e f é contínua em \Omega, ao passar ao limite na definição \phi_{n+1}(x)=y_0+\int_{x_0}^{x} f(t,\phi_n(t))\,dtobtemos (pela convergência uniforme e pelo teorema de convergência dominada / continuidade do integrando) \varphi(x)=y_0+\int_{x_0}^{x} f(t,\varphi(t))\,dt.
  • Diferenciando (a integral dá função diferenciável), concluímos \varphi'(x)=f(x,\varphi(x)),\qquad \varphi(x_0)=y_0,ou seja, \varphi é solução do problema de valor inicial no intervalo I_{\tau}. Além disso, por construção (x,\varphi(x))\in\Omega para todo x\in I_{\tau}.

Passo 7

Provar unicidade da solução (aquela ideia do “se houver duas, então são iguais”, usando desigualdade integral / Grönwall).
  • Suponha que existam duas soluções \varphi e \psi definidas em I_{\tau} que satisfazem a EDO e a condição inicial. Considere a função g(x)=|\varphi(x)-\psi(x)|.Usando a forma integral das soluções e a propriedade Lipschitz em y, \begin{aligned} g(x) &=\left| \int_{x_0}^{x} \bigl[ f(t,\varphi(t))-f(t,\psi(t))\bigr]\,dt\right| \le \int_{x_0}^{x} L\,|\varphi(t)-\psi(t)|\,dt\\\ &=L\int_{x_0}^{x} g(t)\,dt. \end{aligned}Defina G(x)=\int_{x_0}^{x} g(t)\,dt. Então G'(x)=g(x) e a desigualdade acima dá G'(x)\le L G(x),\qquad G(x_0)=0.Considere h(x)=e^{-L(x-x_0)}G(x). Então h'(x)=e^{-L(x-x_0)}\bigl(G'(x)-L G(x)\bigr)\le 0,o que implica que h é decrescente em I_{\tau}. Como h(x_0)=0 e h é decrescente, temos h(x)\le 0 para x\ge x_0; mas G\ge 0 implica h\ge 0, então h\equiv 0 em I_{\tau}. Portanto G\equiv 0 e assim g\equiv 0. O mesmo argumento funciona para x\le x_0. Conclui-se \varphi\equiv\psi em I_{\tau}.

Passo 8

Resumo final do argumento (recapitulando os blocos lógicos para a prova):
  • Usamos a integral associada à EDO e definimos o operador T.
  • Mostramos que T envia a bola B de funções contínuas para ela própria, usando o fato de que |f|\le M e a escolha \tau\le b/M.
  • A continuidade de \partial_y f no retângulo garante uma constante L de Lipschitz em y para f.
  • Construímos as aproximações de Picard \phi_n e estabelecemos estimativas fatoriais que implicam convergência uniforme da sequência.
  • O limite \varphi satisfaz a equação integral e, por diferenciação, a EDO com a condição inicial.
  • A unicidade foi obtida por uma desigualdade integral e o argumento de Grönwall (ou equivalente com fator integrante), que força a diferença entre duas soluções a ser identicamente zero.

Resposta

Existe uma única solução \varphi(x) do problema y'=f(x,y),\; y(x_0)=y_0 definida em I_{\tau}=[x_0-\tau,x_0+\tau], com \tau=\min\{a,\;b/M\}.

Exercícios relacionados