1⿰) Num levantamento topográfico planimétrico de uma poligonal ABCDE foram obtidas as seguintes medidas angulares e lineares: \mathrm{Az} \overline{\mathrm{AB}}=318^{\circ} 25^{\prime} ; \mathrm{A} \widehat{\mathrm{BC}}=108^{\circ} 43^{\prime} ; \mathrm{B} \widehat{\mathrm{CD}}=273^{\circ} 32^{\prime}; \mathrm{CDE}=84^{\circ} 48^{\prime} ; \overline{\mathrm{AB}}=168,45 \mathrm{~m} ; \overline{\mathrm{BC}}=205,70 \mathrm{~m} ; \overline{\mathrm{CD}}=100,00 \mathrm{~m} ; \overline{\mathrm{DE}}=315,67 \mathrm{~m}. Solicita-se calcular as coordenadas retangulares absolutas dos vértices desta poligonal, sabendo-se que as coordenadas retangulares adotadas para a Estação A sāo: \mathrm{X}_{\mathrm{A}}=36.000,00 \mathrm{~m} e \mathrm{Y}_{\mathrm{A}}=25.345,69 \mathrm{~m}.

Passo 1

Resumindo: temos uma poligonal aberta A\!-\!B\!-\!C\!-\!D\!-\!E com azimute inicial de \overline{AB}, três ângulos internos em B,C,D e comprimentos de cada lado. Queremos as coordenadas planimétricas absolutas de A,B,C,D,E, sabendo que
\;X_A=36000{,}00\rm\,m e \;Y_A=25345{,}69\rm\,m.
Vamos aplicar:
  1. cálculo dos azimutes sucessivos a partir dos ângulos internos (convexos e côncavos)
  2. projeções ortogonais \Delta X e \Delta Y de cada lado
  3. acumulação das coordenadas.

Passo 2

Cálculo dos azimutes seguintes usando
\delta_i = 180^\circ - \alpha_i,
onde \alpha_i é o ângulo interno em cada vértice; para \alpha_i>180^\circ \delta_i fica negativo (vértice côncavo). Então
\begin{aligned} \alpha_B&=108^\circ43'&\Rightarrow\delta_B&=180^\circ-108^\circ43'=71^\circ17'\\\ \alpha_C&=273^\circ32'&\Rightarrow\delta_C&=180^\circ-273^\circ32'=-93^\circ32'\\\ \alpha_D&=84^\circ48'&\Rightarrow\delta_D&=180^\circ-84^\circ48'=95^\circ12' \end{aligned}
e os azimutes
\begin{aligned} \mathrm{Az}_{AB}&=318^\circ25'\\\ \mathrm{Az}_{BC}&=\mathrm{Az}_{AB}+\delta_B=318^\circ25'+71^\circ17'=389^\circ42'\equiv29^\circ42'\\\ \mathrm{Az}_{CD}&=\mathrm{Az}_{BC}+\delta_C=29^\circ42'-93^\circ32'=-63^\circ50'\equiv296^\circ10'\\\ \mathrm{Az}_{DE}&=\mathrm{Az}_{CD}+\delta_D=296^\circ10'+95^\circ12'=391^\circ22'\equiv31^\circ22' \end{aligned}

Passo 3

Para cada lado calculamos as projeções
\Delta X_i = L_i\sin(\mathrm{Az}_i), \quad \Delta Y_i = L_i\cos(\mathrm{Az}_i),
com L_{AB}=168{,}45\rm\,m, L_{BC}=205{,}70\rm\,m, L_{CD}=100{,}00\rm\,m, L_{DE}=315{,}67\rm\,m. Os valores numéricos são:
\begin{aligned} \Delta X_{AB}&=-111{,}79,\quad \Delta Y_{AB}=125{,}98,\\\ \Delta X_{BC}&=101{,}92,\quad \Delta Y_{BC}=178{,}66,\\\ \Delta X_{CD}&=-89{,}40,\quad \Delta Y_{CD}=44{,}88,\\\ \Delta X_{DE}&=164{,}24,\quad \Delta Y_{DE}=269{,}62. \end{aligned}

Passo 4

Acumulando a partir de A:
\begin{aligned} X_B&=X_A+\Delta X_{AB}=36000{,}00-111{,}79=35888{,}21,\\\ Y_B&=Y_A+\Delta Y_{AB}=25345{,}69+125{,}98=25471{,}67;\\\ X_C&=X_B+\Delta X_{BC}=35888{,}21+101{,}92=35990{,}13,\\\ Y_C&=Y_B+\Delta Y_{BC}=25471{,}67+178{,}66=25650{,}33;\\\ X_D&=X_C+\Delta X_{CD}=35990{,}13-89{,}40=35900{,}73,\\\ Y_D&=Y_C+\Delta Y_{CD}=25650{,}33+44{,}88=25695{,}21;\\\ X_E&=X_D+\Delta X_{DE}=35900{,}73+164{,}24=36064{,}97,\\\ Y_E&=Y_D+\Delta Y_{DE}=25695{,}21+269{,}62=25964{,}83. \end{aligned}

Resposta

A:\;(36000{,}00;\;25345{,}69)
B:\;(35888{,}21;\;25471{,}67)
C:\;(35990{,}13;\;25650{,}33)
D:\;(35900{,}73;\;25695{,}21)
E:\;(36064{,}97;\;25964{,}83)

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