Calcule as integrais a seguir usando a transformação de funções racionais em funções parciais
int \frac{x^{3}+2}{(x-1)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x^{3}+2}{(x-1)^{2}}\,dx
usando decomposição em frações parciais. Como o grau do numerador é maior que o do denominador, primeiro vamos fazer a divisão polinomial para reduzir o integrando a uma soma de termos mais simples.

Passo 2

Fazendo a divisão polinomial de \,x^{3}+2 por (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1, encontramos
\frac{x^{3}+2}{(x-1)^{2}} = x + 2 + \frac{3x}{(x-1)^{2}}.

Passo 3

Agora decompomos a parte racional restante. Queremos escrever
\frac{3x}{(x-1)^{2}} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por (x-1)^{2}, dá
3x = A(x-1) + B = A x - A + B.
Comparando coeficientes em x e constantes:
A = 3, \quad -\,A + B = 0 \;\Longrightarrow\; B = 3.
Logo
\frac{3x}{(x-1)^{2}} = \frac{3}{x-1} + \frac{3}{(x-1)^{2}}.
Assim
\frac{x^{3}+2}{(x-1)^{2}} = x + 2 + \frac{3}{x-1} + \frac{3}{(x-1)^{2}}.

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}, \quad \int 2\,dx = 2x, \quad \int \frac{3}{x-1}\,dx = 3\ln\bigl\lvert x-1\bigr\rvert, \quad \int \frac{3}{(x-1)^{2}}\,dx =3\int (x-1)^{-2}dx =-\frac{3}{x-1}.
Somando tudo, obtemos a primitiva.

Resposta

\frac{x^{2}}{2} \;+\; 2x \;+\; 3\ln\bigl\lvert x-1\bigr\rvert \;-\;\frac{3}{x-1} + C.

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