[1 pt] calcule o limite lim (x, y) (0,0) x(e^y / x-1)x+y
(b) ao longo da curva y=x^2

Passo 1

Então, temos um limite que precisa ser calculado:
lim (x, y) (0,0) x(e^y / x-1)x+y
Estamos trabalhando com limites em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos calcular o limite quando nos aproximamos do ponto seguindo a curva . Para isso, vamos precisar substituir por na expressão e simplificar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir x(e^y / x-1)x+y = x(e^x^2 / x-1)x + x^2 por x(e^x-1)x + x^2 na função:
Simplificando para :

Passo 3

Agora, vamos simplificar o denominador x + x^2 = x(1 + x) . Podemos fatorar x(e^x-1)x(1 + x) :
Então, a expressão fica:

Passo 4

Podemos cancelar o e^x-11 + x do numerador e do denominador:
limx to 0 e^x-11 + x
Agora, o limite se reduz a:

Passo 5

Para resolver esse limite, vamos lembrar que quando e^x approx 1 + x + x^22 + cdots se aproxima de 0, (1 + x + x^22 + cdots) - 11 + x = x + x^22 + cdots1 + x pode ser aproximado pela série de Taylor:
Substituindo isso na expressão:

Passo 6

Agora, dividimos cada termo do numerador pelo denominador:
x1 + x + x^221 + x + cdots
Quando limx to 0 x1 + x = 01 + 0 = 0 tende a 0, os termos com e superiores tendem a 0, então ficamos com:

Resposta

O limite ao longo da curva é igual a 0.

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