Calcule: lim x 0 ln (2 x+1)e^x-1

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites em Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como as funções logarítmica e exponencial se comportam perto de 0 e, se necessário, utilizar a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento das funções quando se aproxima de 0:
  • No numerador, temos . Quando é próximo de 0, está próximo de 1, e .
  • No denominador, temos . Quando é próximo de 0, , então o denominador também se aproxima de 0.
Então, o limite está na forma , o que nos permite usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se f'(x) = 22x + 1 ou g'(x) = e^x , então podemos calcular , desde que as derivadas existam.
Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador:
  • Derivada do denominador:

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hôpital:
lim x 0 ln (2 x+1)e^x-1 = lim x 0 22x + 1e^x = 21 div 1 = 2

Resposta

O limite é igual a 2.

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