Calcule:
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado ao estudo de limites em Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como as funções logarítmica e exponencial se comportam perto de 0 e, se necessário, utilizar a Regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento das funções quando
se aproxima de 0:
- No numerador, temos
. Quando é próximo de 0, está próximo de 1, e . - No denominador, temos
. Quando é próximo de 0, , então o denominador também se aproxima de 0.
Então, o limite está na forma
, o que nos permite usar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital diz que se
ou
, então podemos calcular
, desde que as derivadas existam.
Vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
Passo 4
Aplicando a Regra de L’Hôpital:
Resposta
O limite é igual a 2.