[1 pt] calcule o limite lim (x, y) (0,0) x(e^y / x-1)x+y
(a) ao longo da curva y=x

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos que calcular o limite quando se aproxima de da expressão . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar substituir a curva dada na expressão e simplificar o limite resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir x(e^x / x-1)x + x = x(e^1-1)2x na expressão original. Isso nos dará:
Aqui, simplificamos para porque .

Passo 3

Agora, observe que x(e - 1)2x = e - 12 está no numerador e no denominador e pode ser cancelado:

Passo 4

Como e - 12 está se aproximando de , e as demais partes da expressão são constantes, o limite é simplesmente:

Resposta

O limite é .

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