[1 pt] Qual das funções abaixo é contínua em todos pontos no plano R^2. Justifique a resposta.
© z = ln (|x| + |y| - 1)

Passo 1

Vamos resumir o problema: Precisamos verificar se a função é contínua em todos os pontos do plano . Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e quais são as condições para que a função logaritmo natural esteja definida e contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função está definida. Sabemos que o logaritmo natural só existe quando . Então, para a nossa função:
Isso significa que:

Passo 3

Essa desigualdade define a região do plano onde a função está definida. Em outras palavras, só existe para pontos que estão fora do triângulo formado pelas inequações .

Passo 4

Dentro dessa região onde , a expressão é contínua porque é uma soma e subtração de funções contínuas (valores absolutos e constantes são contínuos). Além disso, o logaritmo natural é uma função contínua onde está definido. A composição de funções contínuas resulta em uma função contínua.

Passo 5

Contudo, fora dessa região (onde ), a função não está definida, pois o logaritmo de números não positivos não existe. Isso significa que não podemos atribuir valores à função nesses pontos, rompendo a continuidade em todo o plano .

Resposta

A função não é contínua em todos os pontos do plano , já que ela está definida apenas para os pontos onde .

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