[1 pt] Qual das funções abaixo é contínua em todos pontos no plano
. Justifique a resposta.
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Passo 1
Vamos resumir o problema: Precisamos verificar se a função
é contínua em todos os pontos do plano
. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e quais são as condições para que a função logaritmo natural esteja definida e contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função está definida. Sabemos que o logaritmo natural
só existe quando
. Então, para a nossa função:
Isso significa que:
Passo 3
Essa desigualdade define a região do plano onde a função
está definida. Em outras palavras,
só existe para pontos
que estão fora do triângulo formado pelas inequações
.
Passo 4
Dentro dessa região onde
, a expressão
é contínua porque é uma soma e subtração de funções contínuas (valores absolutos e constantes são contínuos). Além disso, o logaritmo natural é uma função contínua onde está definido. A composição de funções contínuas resulta em uma função contínua.
Passo 5
Contudo, fora dessa região (onde
), a função
não está definida, pois o logaritmo de números não positivos não existe. Isso significa que não podemos atribuir valores à função nesses pontos, rompendo a continuidade em todo o plano
.
Resposta
A função
não é contínua em todos os pontos do plano
, já que ela está definida apenas para os pontos onde
.