10.16 Uma tensão cc igual a V_{\mathrm{cc}} \mathrm{V} é aplicada a um resistor de R \Omega. Uma tensão senoidal igual a v_{f} \mathrm{~V} também é aplicada a um resistor de R \Omega. Mostre que a tensão cc fornecerá a mesma energia em T segundos (onde T é o período da tensão senoidal) que a tensão senoidal, desde que V_{\text {cc }} seja igual ao valor eficaz de v_{f} (Sugestão: iguale as duas expressões para a energia fornecida ao resistor.)

Passo 1

O enunciado considera um resistor de resistência R ao qual se aplicam duas tensões distintas:
– Uma tensão contínua de valor V_{\mathrm{cc}}.
– Uma tensão senoidal de amplitude v_{f} e período T, isto é,
v(t)=v_{f}\,\sin(\omega t),\quad \omega=\frac{2\pi}{T}.
Queremos mostrar que, em um intervalo de duração T, a energia fornecida pela fonte CC é igual à fornecida pela senoidal, desde que V_{\mathrm{cc}} seja igual ao valor eficaz (RMS) da senoidal. Vamos usar o conceito de potência instantânea em resistores, calcular energias por integração e lembrar a definição de valor RMS.

Passo 2

Cálculo da energia fornecida pela fonte CC em T segundos.
A potência instantânea em um resistor é
p_{\mathrm{cc}}(t)=\frac{V_{\mathrm{cc}}^{2}}{R},
que é constante. Logo, a energia em T segundos é
E_{\mathrm{cc}} =\int_{0}^{T}p_{\mathrm{cc}}(t)\,\mathrm{d}t =\int_{0}^{T}\frac{V_{\mathrm{cc}}^{2}}{R}\,\mathrm{d}t =\frac{V_{\mathrm{cc}}^{2}}{R}\;T.

Passo 3

Cálculo da energia fornecida pela fonte senoidal em T segundos.
A potência instantânea é
p_{\mathrm{ac}}(t) =\frac{v^{2}(t)}{R} =\frac{\bigl(v_{f}\sin(\omega t)\bigr)^{2}}{R} =\frac{v_{f}^{2}}{R}\,\sin^{2}(\omega t).
Integrando em um período completo:
E_{\mathrm{ac}} =\int_{0}^{T}p_{\mathrm{ac}}(t)\,\mathrm{d}t =\frac{v_{f}^{2}}{R}\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,\mathrm{d}t.
Como \displaystyle \int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,\mathrm{d}t=T/2, segue
E_{\mathrm{ac}} =\frac{v_{f}^{2}}{R}\;\frac{T}{2} =\frac{v_{f}^{2}\,T}{2R}.

Passo 4

Igualando as duas energias E_{\mathrm{cc}}=E_{\mathrm{ac}}:
\frac{V_{\mathrm{cc}}^{2}}{R}\,T =\frac{v_{f}^{2}}{2R}\,T \quad\Longrightarrow\quad V_{\mathrm{cc}}^{2}=\frac{v_{f}^{2}}{2} \quad\Longrightarrow\quad V_{\mathrm{cc} }=\frac{v_{f}}{\sqrt{2}}.
Esse valor \frac{v_{f}}{\sqrt{2}} é exatamente o valor eficaz (RMS) da tensão senoidal.

Resposta

V_{\mathrm{cc}}=\dfrac{v_{f}}{\sqrt{2}}, ou seja, a tensão CC deve ser igual ao valor eficaz da tensão senoidal.

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