10.16 Uma tensão cc igual a
é aplicada a um resistor de
. Uma tensão senoidal igual a
também é aplicada a um resistor de
. Mostre que a tensão cc fornecerá a mesma energia em
segundos (onde
é o período da tensão senoidal) que a tensão senoidal, desde que
seja igual ao valor eficaz de
(Sugestão: iguale as duas expressões para a energia fornecida ao resistor.)
Passo 1
O enunciado considera um resistor de resistência
ao qual se aplicam duas tensões distintas:
– Uma tensão contínua de valor .
– Uma tensão senoidal de amplitude e período
, isto é,
– Uma tensão contínua de valor
– Uma tensão senoidal de amplitude
Queremos mostrar que, em um intervalo de duração
, a energia fornecida pela fonte CC é igual à fornecida pela senoidal, desde que
seja igual ao valor eficaz (RMS) da senoidal. Vamos usar o conceito de potência instantânea em resistores, calcular energias por integração e lembrar a definição de valor RMS.
Passo 2
Cálculo da energia fornecida pela fonte CC em
segundos.
A potência instantânea em um resistor é
A potência instantânea em um resistor é
que é constante. Logo, a energia em
segundos é
Passo 3
Cálculo da energia fornecida pela fonte senoidal em
segundos.
A potência instantânea é
A potência instantânea é
Integrando em um período completo:
Como
, segue
Passo 4
Igualando as duas energias
:
Esse valor
é exatamente o valor eficaz (RMS) da tensão senoidal.