9.15 Um resistor de 25 \Omega, um indutor de 50 mH e um capacitor de 32 \mu \mathrm{~F} estão ligados em série. Os elementos ligados em série são energizados por uma fonte de tensão senoidal cuja tensão é 25 \cos \left(500 t-60^{\circ}\right) \mathrm{V}.
a) Desenhe o circuito equivalente no domínio da frequência.
b) Referencie a corrente na direção da elevação da tensão na fonte e determine o fasor corrente.
c) Determine a expressão de regime permanente para i(t).

Passo 1

O enunciado dá um circuito série com R=25\\ \Omega, L=50\\ \mathrm{mH} e C=32\\ \mu\mathrm{F}, alimentado por
v(t)=25\cos\bigl(500\,t-60^\circ\bigr)\\ \mathrm{V}.
O que precisamos:
– converter o circuito para o domínio da frequência (fasores);
– definir a corrente como fasor numa só direção;
– achar esse fasor \mathbf I;
– voltar ao regime permanente no tempo i(t).

Passo 2

No domínio da frequência, cada elemento vira um impedância:
R\to R,\quad L\to j\omega L,\quad C\to \frac{1}{j\omega C},
e a fonte vira o fasor
\mathbf V = 25\angle -60^\circ\\ \mathrm{V},
com \omega=500\\ \mathrm{rad/s}. Assim o circuito é simplesmente uma série de
\mathbf V\;\longrightarrow\;R\;-\;j\omega L\;-\;\frac1{j\omega C}\;-\;\text{retorno}.

Passo 3

Calculemos as reatâncias:
X_L = \omega L = 500\cdot 0,05 = 25\\ \Omega, \qquad X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{500\cdot 32\times10^{-6}} = 62{,}5\\ \Omega.
Logo a impedância total é
Z = R + j\bigl(X_L - X_C\bigr) = 25 + j\bigl(25 - 62{,}5\bigr) = 25 - j\,37{,}5\\ \Omega.

Passo 4

O fasor corrente, referenciado na mesma direção da tensão da fonte, é
\mathbf I = \frac{\mathbf V}{Z} = \frac{25\angle -60^\circ}{25 - j\,37{,}5}.
Em módulo e fase, note que
|Z| = \sqrt{25^2 + (-37{,}5)^2} = 45{,}08\\ \Omega, \quad \angle Z = \arctan\!\Bigl(\frac{-37{,}5}{25}\Bigr) = -56{,}31^\circ.
Então
|\mathbf I| = \frac{25}{45{,}08} = 0{,}5544\\ \mathrm{A}, \qquad \angle \mathbf I = -60^\circ -(-56{,}31^\circ) = -3{,}69^\circ,
ou seja
\mathbf I = 0{,}5544\angle -3{,}69^\circ\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Para voltar ao tempo, usamos
i(t) = |\mathbf I|\cos\bigl(\omega t + \angle\mathbf I\bigr) = 0{,}5544\cos\bigl(500\,t - 3{,}69^\circ\bigr)\\ \mathrm{A}.

Resposta

a) No domínio da frequência o circuito é uma fonte \mathbf V=25\angle -60^\circ\,\mathrm{V} em série com
R = 25\\ \Omega,\quad j\omega L = j25\\ \Omega,\quad \frac1{j\omega C} = -j\,62{,}5\\ \Omega.
b) O fasor corrente é
\mathbf I = 0{,}5544\angle -3{,}69^\circ\\ \mathrm{A}.
c) Em regime permanente no tempo:
i(t) = 0{,}5544\cos\bigl(500\,t - 3{,}69^\circ\bigr)\\ \mathrm{A}.

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