10.1PE Para determinada transformação de fases, dados pelo menos dois valores das frações transformadas e seus tempos correspondentes, gere uma planilha que permitirá ao usuário determinar o seguinte:
(a) os valores de n e k na equação de Avrami
(b) o tempo necessário para a transformação prosseguir até determinado grau de fração transformada
(c) a fração transformada depois de decorrido um tempo específico.

Passo 1

O enunciado pede que, a partir de pelo menos dois pares (t,x), você determine os parâmetros n e k da equação de Avrami
x(t)=1-\exp\bigl(-k\,t^{n}\bigr)
e depois use esses parâmetros para (b) calcular o tempo necessário para atingir uma certa fração transformada x_{\rm alvo} e (c) calcular a fração transformada após um tempo t qualquer. Para isso, vamos linearizar a equação via
\ln\bigl(-\ln(1-x)\bigr)=\ln k + n\,\ln t
de modo que um ajuste de reta em \bigl(\ln t,\;\ln[-\ln(1-x)]\bigr) fornece n (coeficiente angular) e \ln k (intercepto).

Passo 2

Monte a planilha com as seguintes colunas (supondo que seus dados entrem de A2 até A m):
A2:A m → Tempo t
B2:B m → Fração transformada x
C2:C m 1-x com fórmula
\quad =1−B2
D2:D m \ln t com fórmula \quad =LN(A2)
E2:E m -\ln(1-x) com fórmula \quad =−LN(C2)
F2:F m \ln[-\ln(1-x)] com fórmula \quad =LN(E2)

Passo 3

Use as funções de regressão do Excel para extrair n e k:
n:
\quad =SLOPE(F2:F m; D2:D m)
intercepto = \ln k: \quad =INTERCEPT(F2:F m; D2:D m)
e finalmente \quad k=\exp(\ln k) com \quad =EXP( intercepto_cell)

Passo 4

Para calcular o tempo necessário para atingir uma fração transformada x_{\rm alvo}, use a inversa da Avrami:
t=\Bigl(\frac{-\ln(1-x_{\rm alvo})}{k}\Bigr)^{1/n}
no Excel, supondo x_{\rm alvo} em G2, k em H2 e n em I2: \quad =((−LN(1−G2)/H2)^(1/I2))

Passo 5

Para calcular a fração transformada x após um tempo t qualquer, aplique diretamente
x=1-\exp\bigl(-k\,t^n\bigr)
no Excel, supondo tempo em J2, k em H2 e n em I2: \quad =1−EXP(−H2* J2^I2)

Resposta

A planilha deve conter as colunas:
A: Tempo t
B: Fração x
C: =1−B2
D: =LN(A2)
E: =−LN(C2)
F: =LN(E2)
Em seguida, calcular
n =SLOPE(F2:F m;D2:D m) \ln k =INTERCEPT(F2:F m;D2:D m)
k =EXP( intercepto_cell)
Para dado x_{\rm alvo}:
t =((−LN(1− x_alvo)/k)^(1/n))
Para dado t:
x =1−EXP(−k* t^n)

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