Para o estado plano de deformação dado, use o círculo de Mohr para determinar (a) a orientação e a intensidade das deformações principais, (b) a deformação máxima no plano e ( ( c ) ) a deformação de cisalhamente máxima.
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Passo 1
O enunciado dá as deformações no sistema de coordenadas
. Peguei os valores da tabela do enunciado:
-
. -
. -
(este é o valor de deformação de cisalhamento de engenharia).
O que o enunciado pede:
(a) a orientação e as intensidades das deformações principais;
(b) a deformação máxima normal em um plano (isto é, o maior valor de deformação normal que pode ocorrer em qualquer plano — a maior deformação principal);
(c) a deformação de cisalhamento máxima (valor máximo da componente de cisalhamento em qualquer plano).
(a) a orientação e as intensidades das deformações principais;
(b) a deformação máxima normal em um plano (isto é, o maior valor de deformação normal que pode ocorrer em qualquer plano — a maior deformação principal);
(c) a deformação de cisalhamento máxima (valor máximo da componente de cisalhamento em qualquer plano).
Passo 2
Conceitos e fórmulas-chave (mini-aula prática e direta):
- A transformação de deformações em 2D pode ser tratada com o círculo de Mohr para deformações. Nele usamos como coordenadas o eixo horizontal
(deformação normal) e o eixo vertical (metade da deformação de cisalhamento de engenharia). - O centro do círculo (média das deformações normais) é
- A metade da diferença é
- A componente de cisalhamento usada no raio é
. - O raio do círculo é
- As deformações principais (valores máximos e mínimos das deformações normais em planos principais) são
onde
é a maior (máxima) e
a menor.
- A orientação
(ângulo entre o eixo e a direção da deformação principal máxima) é dada por
Explicação do que cada símbolo significa:
-
: deformações normais medidas nos eixos e . -
: deformação de cisalhamento de engenharia no plano . -
, , : quantidades auxiliares do círculo de Mohr. -
: ângulo físico medido no sentido anti-horário do eixo até a direção em que a deformação normal é máxima.
Passo 3
Calcular a média
e a metade da diferença
usando os valores do enunciado:
Também calculamos
:
Passo 4
Calcular o raio
do círculo de Mohr:
Aproximando,
(Usei raiz quadrada de
; arredondei o resultado para três casas significativas.)
Passo 5
Obter as deformações principais
e
:
Arredondei a duas casas decimais quando escreverei os valores finais. Intuição:
é a maior deformação normal possível em qualquer plano e
a menor.
Passo 6
Calcular a orientação
das deformações principais:
Usamos
Usamos
Substituindo os valores (lembre que
):
Logo
Portanto
Interpretação prática: girando o sistema de referência original
em torno de
no sentido anti-horário, encontra-se o eixo onde a deformação normal é máxima (
) e a deformação de cisalhamento local é zero.
Observação sobre ambiguidade: o valor de
tem ambiguidade de
, o que corresponde a
ambígua em
; isso só diz que os dois eixos principais são perpendiculares entre si. O ângulo dado é o menor ângulo positivo que satisfaz a relação.
Passo 7
Deformação máxima no plano (interpretação do item (b) do enunciado):
- A maior deformação normal que pode ocorrer em qualquer plano é exatamente
.
Assim:
(Estou usando o valor arredondado apresentado no resumo final.)
Passo 8
Deformação de cisalhamento máxima (item (c)):
- No círculo de Mohr as ordenadas verticais representam
. O valor máximo de em módulo é igual ao raio . - Portanto o máximo da deformação de cisalhamento de engenharia (que chamamos usualmente de
) é
Usando
,
Nota pedagógica: alguns autores também falam em “componente tensorial de cisalhamento”
(que é metade da engenharia), cujo máximo em módulo seria
(aqui
). No enunciado foi pedido “deformação de cisalhamente máxima” — normalmente isso se refere à deformação de cisalhamento de engenharia
, por isso dei esse valor. Se fosse pedida a componente tensorial máxima, seria
.
Passo 9
Resumo numérico (verificação rápida):
- Centro do círculo:
. - Raio:
. - Principais:
, . - Direção da maior deformação principal:
(medido a partir do eixo , sentido anti-horário). - Deformação de cisalhamento máxima (engenharia):
.
Tudo consistente com o círculo de Mohr: centro 150, raio, extremos do círculo (243,41 e 56,59) e altura máxima para .
Resposta
(a)
direção da maior deformação principal
(a partir do eixo
, sentido anti-horário).
(b) .
(c) (deformação de cisalhamento de engenharia máxima).
(b)
(c)