Para o estado plano de deformação dado, use o círculo de Mohr para determinar (a) a orientação e a intensidade das deformações principais, (b) a deformação máxima no plano e ( ( c ) ) a deformação de cisalhamente máxima.
\epsilon_{x} \epsilon_{y} \gamma_{xy}
7.142 +60 \mu +240 \mu -50 \mu

Passo 1

O enunciado dá as deformações no sistema de coordenadas x,y. Peguei os valores da tabela do enunciado:
  • \epsilon_{x}=+60\,\mu\varepsilon.
  • \epsilon_{y}=+240\,\mu\varepsilon.
  • \gamma_{xy}=-50\,\mu\varepsilon (este é o valor de deformação de cisalhamento de engenharia).
O que o enunciado pede:
(a) a orientação e as intensidades das deformações principais;
(b) a deformação máxima normal em um plano (isto é, o maior valor de deformação normal que pode ocorrer em qualquer plano — a maior deformação principal);
(c) a deformação de cisalhamento máxima (valor máximo da componente de cisalhamento em qualquer plano).

Passo 2

Conceitos e fórmulas-chave (mini-aula prática e direta):
  • A transformação de deformações em 2D pode ser tratada com o círculo de Mohr para deformações. Nele usamos como coordenadas o eixo horizontal \epsilon (deformação normal) e o eixo vertical \dfrac{\gamma}{2} (metade da deformação de cisalhamento de engenharia).
  • O centro do círculo (média das deformações normais) é
\bar{\epsilon}=\frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2}.
  • A metade da diferença é
\Delta=\frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}.
  • A componente de cisalhamento usada no raio é \dfrac{\gamma_{xy}}{2}.
  • O raio do círculo é
R=\sqrt{\Delta^{2}+\left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)^{2}}.
  • As deformações principais (valores máximos e mínimos das deformações normais em planos principais) são
\epsilon_{1,2}=\bar{\epsilon}\pm R,
onde \epsilon_1 é a maior (máxima) e \epsilon_2 a menor.
  • A orientação \theta_p (ângulo entre o eixo x e a direção da deformação principal máxima) é dada por
\tan 2\theta_p=\frac{\gamma_{xy}}{\epsilon_x-\epsilon_y}.
Explicação do que cada símbolo significa:
  • \epsilon_x,\epsilon_y: deformações normais medidas nos eixos x e y.
  • \gamma_{xy}: deformação de cisalhamento de engenharia no plano xy.
  • \bar{\epsilon}, \Delta, R: quantidades auxiliares do círculo de Mohr.
  • \theta_p: ângulo físico medido no sentido anti-horário do eixo x até a direção em que a deformação normal é máxima.

Passo 3

Calcular a média \bar{\epsilon} e a metade da diferença \Delta usando os valores do enunciado:
\bar{\epsilon}=\frac{60+240}{2}= \frac{300}{2}=150\\ \mu\varepsilon.
\Delta=\frac{60-240}{2}=\frac{-180}{2}=-90\\ \mu\varepsilon.
Também calculamos \dfrac{\gamma_{xy}}{2}:
\frac{\gamma_{xy}}{2}=\frac{-50}{2}=-25\\ \mu\varepsilon.

Passo 4

Calcular o raio R do círculo de Mohr:
R=\sqrt{\Delta^{2}+\left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)^{2}} =\sqrt{(-90)^{2}+(-25)^{2}} =\sqrt{8100+625} =\sqrt{8725}.
Aproximando,
R\approx 93{,}408\\ \mu\varepsilon.
(Usei raiz quadrada de 8725; arredondei o resultado para três casas significativas.)

Passo 5

Obter as deformações principais \epsilon_1 e \epsilon_2:
\epsilon_{1}=\bar{\epsilon}+R=150+93{,}408\approx243{,}408\\ \mu\varepsilon,
\epsilon_{2}=\bar{\epsilon}-R=150-93{,}408\approx56{,}592\\ \mu\varepsilon.
Arredondei a duas casas decimais quando escreverei os valores finais. Intuição: \epsilon_1 é a maior deformação normal possível em qualquer plano e \epsilon_2 a menor.

Passo 6

Calcular a orientação \theta_p das deformações principais:
Usamos
\tan 2\theta_p=\frac{\gamma_{xy}}{\epsilon_x-\epsilon_y}.
Substituindo os valores (lembre que \epsilon_x-\epsilon_y=60-240=-180):
\tan 2\theta_p=\frac{-50}{-180}=\frac{50}{180}=0{,}277777\ldots
Logo
2\theta_p=\arctan(0{,}277777\ldots)\approx15{,}50^\circ.
Portanto
\theta_p\approx\frac{15{,}50^\circ}{2}=7{,}75^\circ.
Interpretação prática: girando o sistema de referência original x em torno de 7{,}75^\circ no sentido anti-horário, encontra-se o eixo onde a deformação normal é máxima ( \epsilon_1) e a deformação de cisalhamento local é zero.
Observação sobre ambiguidade: o valor de 2\theta_p tem ambiguidade de 180^\circ, o que corresponde a \theta_p ambígua em 90^\circ; isso só diz que os dois eixos principais são perpendiculares entre si. O ângulo dado é o menor ângulo positivo que satisfaz a relação.

Passo 7

Deformação máxima no plano (interpretação do item (b) do enunciado):
  • A maior deformação normal que pode ocorrer em qualquer plano é exatamente \epsilon_1.
    Assim:
\epsilon_{\text{máx normal}}=\epsilon_{1}\approx243{,}41\\ \mu\varepsilon.á
(Estou usando o valor arredondado apresentado no resumo final.)

Passo 8

Deformação de cisalhamento máxima (item (c)):
  • No círculo de Mohr as ordenadas verticais representam \dfrac{\gamma}{2}. O valor máximo de \dfrac{\gamma}{2} em módulo é igual ao raio R.
  • Portanto o máximo da deformação de cisalhamento de engenharia (que chamamos usualmente de \gamma_{\max}) é
\gamma_{\max}=2R.
Usando R\approx93{,}408\,\mu\varepsilon,
\gamma_{\max}\approx2\times93{,}408\approx186{,}816\\ \mu\varepsilon.
Nota pedagógica: alguns autores também falam em “componente tensorial de cisalhamento” \epsilon_{xy} (que é metade da engenharia), cujo máximo em módulo seria R (aqui \approx93{,}408\,\mu\varepsilon). No enunciado foi pedido “deformação de cisalhamente máxima” — normalmente isso se refere à deformação de cisalhamento de engenharia \gamma_{\max}, por isso dei esse valor. Se fosse pedida a componente tensorial máxima, seria R.

Passo 9

Resumo numérico (verificação rápida):
  • Centro do círculo: \bar{\epsilon}=150\,\mu\varepsilon.
  • Raio: R\approx93{,}408\,\mu\varepsilon.
  • Principais: \epsilon_1\approx243{,}408\,\mu\varepsilon, \epsilon_2\approx56{,}592\,\mu\varepsilon.
  • Direção da maior deformação principal: \theta_p\approx7{,}75^\circ (medido a partir do eixo x, sentido anti-horário).
  • Deformação de cisalhamento máxima (engenharia): \gamma_{\max}\approx186{,}816\,\mu\varepsilon.
    Tudo consistente com o círculo de Mohr: centro 150, raio \approx93{,}41, extremos do círculo (243,41 e 56,59) e altura máxima \pm R para \gamma/2.

Resposta

(a) \epsilon_1\approx243{,}41\,\mu\varepsilon,\\ \epsilon_2\approx56{,}59\,\mu\varepsilon, direção da maior deformação principal \theta_p\approx7{,}75^\circ (a partir do eixo x, sentido anti-horário).
(b) \epsilon_{\text{máx normal}}=\epsilon_1\approx243{,}41\,\mu\varepsiloná.
(c) \gamma_{\max}\approx186{,}82\,\mu\varepsilon (deformação de cisalhamento de engenharia máxima).

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