Para o estado plano de deformação dado, use o círculo de Mohr para determinar (a) a orientação e a intensidade das deformações principais, (b) a deformação máxima no plano e ( ( c ) ) a deformação de cisalhamente máxima.
\epsilon_{x} \epsilon_{y} \gamma_{xy}
7.143 +300 \mu +60 \mu +100 \mu

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) a orientação e a intensidade das deformações principais;
  • (b) a deformação normal máxima que aparece em algum plano (ou seja, a maior deformação normal possível);
  • (c) a deformação de cisalhamento máxima (módulo máximo de cisalhamento) e sua orientação.
As informações dadas (peguei esses números da tabela enviada) são:
  • \epsilon_{x}=+300\\ \mu,
  • \epsilon_{y}=+60\\ \mu,
  • \gamma_{xy}=+100\\ \mu.
Observação importante sobre notação que vou usar: \gamma_{xy} é a deformação de cisalhamento de engenharia (ou seja, não é \varepsilon_{xy} mas sim \gamma_{xy}=2\varepsilon_{xy}). No círculo de Mohr para deformações, o eixo vertical costuma representar \gamma/2, por isso as fórmulas abaixo usam \gamma_{xy}/2.

Passo 2

Vou explicar de forma curta e prática o que o círculo de Mohr faz (a ideia conceitual que uso nas contas).
  • O círculo de Mohr para deformações transforma um estado plano (\epsilon_x,\epsilon_y,\gamma_{xy}) em gráficos onde o eixo horizontal é deformação normal \epsilon e o eixo vertical é \gamma/2.
  • A média das deformações normais é o centro do círculo:
\bar{\epsilon}=\frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2}.
  • A “metade da diferença” é
\Delta=\frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}.
  • A componente de cisalhamento que entra no círculo é \dfrac{\gamma_{xy}}{2}.
  • O raio do círculo é
R=\sqrt{\Delta^{2}+\left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)^{2}}.
  • As deformações principais são
\epsilon_{1,2}=\bar{\epsilon}\pm R,
onde \epsilon_1 é a maior (intensidade máxima) e \epsilon_2 a menor.
  • A orientação das direções principais (ângulo \theta_p medido a partir do eixo x positivo até o eixo principal correspondente a \epsilon_1) satisfaz
\tan(2\theta_p)=\frac{\gamma_{xy}}{\epsilon_x-\epsilon_y}.
  • A deformação de cisalhamento máxima de engenharia (no plano) é
\gamma_{\max}=2R,
e ocorre em planos a 45^\circ das direções principais (ou seja, \theta_s=\theta_p\pm 45^\circ).
Agora aplico essas fórmulas aos números dados.

Passo 3

Calcular a média, a metade da diferença e \gamma_{xy}/2:
\bar{\epsilon}=\frac{300\\ \mu + 60\\ \mu}{2}= \frac{360\\ \mu}{2}=180\\ \mu.
\Delta=\frac{300\\ \mu - 60\\ \mu}{2}=\frac{240\\ \mu}{2}=120\\ \mu.
\frac{\gamma_{xy}}{2}=\frac{100\\ \mu}{2}=50\\ \mu.

Passo 4

Calcular o raio R:
R=\sqrt{(120\\ \mu)^{2}+(50\\ \mu)^{2}} =\sqrt{14400+2500}\\ \mu =\sqrt{16900}\\ \mu =130\\ \mu.

Passo 5

Calcular as deformações principais usando \epsilon_{1,2}=\bar{\epsilon}\pm R:
\epsilon_1=180\\ \mu + 130\\ \mu = 310\\ \mu,
\epsilon_2=180\\ \mu - 130\\ \mu = 50\\ \mu.
Portanto as intensidades das deformações principais são 310\\ \mu (máxima) e 50\\ \mu (mínima).

Passo 6

Calcular a orientação das deformações principais. Uso
\tan(2\theta_p)=\frac{\gamma_{xy}}{\epsilon_x-\epsilon_y}=\frac{100\\ \mu}{300\\ \mu-60\\ \mu}=\frac{100}{240}=0,416666\ldots
Logo
2\theta_p=\arctan(0,416666\ldots)\approx 22,6199^\circ,
\theta_p=\frac{1}{2}\times 22,6199^\circ \approx 11,3099^\circ \approx 11,31^\circ.
Em radianos isso é
\theta_p\approx 0,1974\\ \text{rad}.
Observação sobre qual eixo corresponde a \epsilon_1: como \epsilon_1=\bar{\epsilon}+R é a maior, a direção \theta_p obtida acima é a direção da máxima deformação normal \epsilon_1. A outra direção principal fica a 90^\circ dela, portanto
\theta_{2}=\theta_p+90^\circ\approx 101,31^\circ.

Passo 7

Deformação máxima no plano (parte (b) do enunciado): a maior deformação normal que se pode obter em qualquer plano é simplesmente \epsilon_1, que já calculamos:
\epsilon_{\text{máx (normal)}}=\epsilon_1=310\\ \mu.á

Passo 8

Deformação de cisalhamento máxima (parte (c)). Ela vale
\gamma_{\max}=2R=2\times 130\\ \mu = 260\\ \mu.
As direções das faces onde aparece esse cisalhamento máximo são \theta_s=\theta_p\pm 45^\circ:
\theta_s^{(1)}\approx 11,31^\circ + 45^\circ = 56,31^\circ,
\theta_s^{(2)}\approx 11,31^\circ - 45^\circ = -33,69^\circ \\ (\text{ou }326,31^\circ).

Resposta

(a) \epsilon_1=310\\ \mu em \theta_1\approx 11,31^\circ em relação a x; \epsilon_2=50\\ \mu em \theta_2\approx 101,31^\circ.
(b) \epsilon_{\text{máx (normal)}}=310\\ \muá.
(c) \gamma_{\max}=260\\ \mu ocorrendo em planos com \theta\approx 56,31^\circ e \theta\approx -33,69^\circ (ou 326,31^\circ).

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